解析力学 (5回目)

2023/12/15(金)
解析力学 (5回目)
 
解析力学
(Analytical mechanics)
 
ハミルトニアンと正準運動方程式
の最小作用の原理
 
■ 導出
▼ 最小作用の原理
H(q_α, p_α, t) = p_iq(・)_i - L(q_α, q(・)_α, t)
より
L(q_α, q(・)_α, t) = p_iq(・)_i - H(q_α, p_α, t)
 
S[q_α] = ∫_t1^t2L(t, q_α, q(・)_α)dt
より
δS[q_α] = δ∫_t1^t2L(t, q_α, q(・)_α)dt
=∫_t1^t2δL(t, q_α, q(・)_α)dt = 0
 
δH(q_α, p_α, t) = H(q_α+δq_α, p_α+δp_α, t) - H(q_α, p_α, t)
≒ (∂H/∂q_i)δq_i + (∂H/∂p_i)δp_i 
とすると
δL(q_α, q(・)_α, t) = δ{p_iq(・)_i - H(q_α, p_α, t)}
= q(・)_iδp_i + p_iδq(・)_i - δH(q_α, p_α, t)
≒ q(・)_iδp_i + p_iδq(・)_i - {(∂H/∂q_i)δq_i + (∂H/∂p_i)δp_i}
と
始点と終点のズレは0なので
δq_i(t₁) = δq_i(t₂) = 0と
部分積分 ∫fg' = fg - ∫f'g を使って
∫_t1^t2 p_iδq(・)_idt = [p_iδq_i]_t1^t2 - ∫_t1^t2p(・)_iδq_idt
= 0 - ∫_t1^t2p(・)_iδq_idt
を使って
 
 
δS = ∫_t1^t2δL(t, q_α, q(・)_α)dt
= ∫_t1^t2q(・)_iδp_idt + ∫_t1^t2 p_iδq(・)_idt
- ∫_t1^t2{(∂H/∂q_i)δq_i + (∂H/∂p_i)δp_i}dt
= ∫_t1^t2q(・)_iδp_idt - ∫_t1^t2p(・)_iδq_idt
- ∫_t1^t2{(∂H/∂q_i)δq_i + (∂H/∂p_i)δp_i}dt
= ∫_t1^t2{(q(・)_i-∂H/∂p_i)δp_i-(p(・)_i+∂H/∂q_i)δq_i}dt
= 0
より
q(・)_i - ∂H/∂p_i = 0
p(・)_i + ∂H/∂q_i = 0
よって
q(・)_i =  ∂H/∂p_i 
p(・)_i = -∂H/∂q_i 
 
 
■ 結果
▼ 定義
正準変数
q_j:正準座標(一般座標)
p_j:正準運動量(一般運動量)
H :ハミルトニアン
L :ラグランジアン
t :時間
 
▼ ラグランジュ方程式
L(q_α, q(・)_α, t) = T(q_α, q(・)_α, t) - V(q_α, q(・)_α)
p_i = (∂L/∂q(・)_i)
S[q_α] = ∫_t1^t2L(t, q_α, q(・)_α)dt
δS[q_α] = ∫_t1^t2{(∂L/∂q_i) – (d/dt)(∂L/∂q(・)_i)}δq_idt
(d/dt)(∂L/∂q(・)_i) = (∂L/∂q_i)
 
▼ 正準運動方程式
H(q_α, p_α, t) = p_iq(・)_i - L(q_α, q(・)_α, t)
= T(q_α, q(・)_α, t) + V(q_α, q(・)_α)
= T(q_α, p_α, t) + V(q_α, p_α)
∂H/∂q_i = -p(・)_i 
∂H/∂p_i =  q(・)_i 
∂H/∂t  = -∂L/∂t
 
δS[q_α] = ∫_t1^t2δL(t, q_α, q(・)_α)dt
= ∫_t1^t2{(q(・)_i-∂H/∂p_i)δp_i-(p(・)_i+∂H/∂q_i)δq_i}dt