振り子 (2回目)

2023/12/24(日)
振り子 (2回目)
 
振り子(Pendulum)
近似式
 
■ 導出
▼ 定義
ℓ :紐の長さ(m)
m :質点の質量(kg)
θ:鉛直下方向からの角度(rad)
g :重力加速度
 
▼ 角度(近似)
sinθ≒θ (|θ| << 1)
の時の近似式を求める
 
θ(･･) = -(g/ℓ)sinθ
≒ -(g/ℓ)θ
微分方程式
θ(･･) = -(g/ℓ)θ
を解く
 
ω = √(g/ℓ)
θ = Ae^{i(ωt + B)} 
とすると
θ(･･) = -ω²Ae^{i(ωt + B)} = -ω²θ = -(g/ℓ)θ
よって
θ = Ae^{i(ωt + B)} 
は解の1つである
 
θ = Ae^{i(ωt + B)} = A{cos(ωt+B) + isin(ωt+B)}
実部のみ取り出して
θ = Acos(ωt+B)
 
 
▼ 初期角度が最大角の時
θ₀:初期角度(最大角とする)
θ = Acos(ωt+B)
t = 0の時θ = θ₀ 
より
θ₀ = Acos(B)  … 最大角
B = 0
θ₀ = A
よって
 
θ = θ₀cos(ωt)
θ(・) = -θ₀ωsin(ωt)
θ(･･) = θ₀ω²cos(ωt)
 
 
■ 結果
▼ 定義
ℓ :紐の長さ(m)
m :質点の質量(kg)
θ:鉛直下方向からの角度(rad)
g :重力加速度
ω:角速度(rad/s)
f :振動数(Hz)
A :振幅(m)
B :位相(rad)
 
▼ 微分方程式
θ(･･) = -(g/ℓ)sinθ
 
▼ 近似式
sinθ≒θ (|θ| << 1)の時
2πf = ω = √(g/ℓ)
θ = Acos(ωt+B)
 
▼ 近似式(初期角度が最大角の時)
θ₀:初期角度(最大角とする)
2πf = ω = √(g/ℓ)
θ = θ₀cos(ωt)
θ(・) = -θ₀ωsin(ωt)
θ(･･) = θ₀ω²cos(ωt)