振り子 (3回目)

2023/1/1(月)
振り子 (3回目)
 
二重振り子(Double pendulum)
 
連立微分方程式の導出
(ラグランジュ方程式)
 
■ 図

図1.
 
■ 導出
▼ 定義
ℓ_i :紐の長さ(m)
m_i :質点の質量(kg)
θ_i:鉛直下方向からの角度(rad)
g  :重力加速度
 
 
▼ 位置r
x_i :支点からの右方向の変位(m)
y_i :支点からの下方向の変位(m)
r₁ = (x₁, y₁) = (ℓ₁sinθ₁, ℓ₁cosθ₁)
r₂ = (x₂, y₂) = (x₁ + ℓ₂sinθ₂, y₁ + ℓ₂cosθ₂)
 
 
▼ 速度v
v₁ = r(・)₁ = (x(・)₁, y(・)₁) = (ℓ₁θ(・)₁cosθ₁, -ℓ₁θ(・)₁sinθ₁)
v₂ = r(・)₂ = (x(・)₂, y(・)₂)
= (x(・)₁ + ℓ₂θ(・)₂cosθ₂, y(・)₁ - ℓ₂θ(・)₂sinθ₂)
= (ℓ₁θ(・)₁cosθ₁ + ℓ₂θ(・)₂cosθ₂, -ℓ₁θ(・)₁sinθ₁ - ℓ₂θ(・)₂sinθ₂)
 
 
▼ 運動エネルギーT
T = (1/2)m_iv_i²  … (アインシュタイン縮約i=1,2)
= (1/2)m₁ℓ₁²θ(・)₁²{cos²θ₁ + (-sinθ₁)²}
+ (1/2)m₂{(ℓ₁θ(・)₁cosθ₁ + ℓ₂θ(・)₂cosθ₂)² 
+ (-ℓ₁θ(・)₁sinθ₁ - ℓ₂θ(・)₂sinθ₂)²}
 
= (1/2)m₁ℓ₁²θ(・)₁² + (1/2)m₂ 
( ℓ₁²θ(・)₁²cos²θ₁ + ℓ₂²θ(・)₂²cos²θ₂ + 2ℓ₁ℓ₂θ(・)₁θ(・)₂cosθ₁cosθ₂ 
+ ℓ₁²θ(・)₁²sin²θ₁ + ℓ₂²θ(・)₂²sin²θ₂ + 2ℓ₁ℓ₂θ(・)₁θ(・)₂sinθ₁sinθ₂)
 
= (1/2)m₁ℓ₁²θ(・)₁² + (1/2)m₂{ ℓ₁²θ(・)₁² + ℓ₂²θ(・)₂² 
+ 2ℓ₁ℓ₂θ(・)₁θ(・)₂(cosθ₁cosθ₂ + sinθ₁sinθ₂)}
 
= (1/2){(m₁ + m₂)ℓ₁²θ(・)₁² + m₂ℓ₂²θ(・)₂²}
+ m₂ℓ₁ℓ₂θ(・)₁θ(・)₂cos(θ₁ - θ₂)
 
 
▼ 位置エネルギーV
支点を0として
V = V₁ + V₂ = m₁g(-y₁) + m₂g(-y₂)
= -m₁gℓ₁cosθ₁ - m₂g(ℓ₁cosθ₁ + ℓ₂cosθ₂)
= -g{(m₁ + m₂)ℓ₁cosθ₁ + m₂ℓ₂cosθ₂}
 
 
▼ ラグランジアンL
L = T - V
= (1/2){(m₁ + m₂)ℓ₁²θ(・)₁² + m₂ℓ₂²θ(・)₂²}
+ m₂ℓ₁ℓ₂θ(・)₁θ(・)₂cos(θ₁ - θ₂)
+ g{(m₁ + m₂)ℓ₁cosθ₁ + m₂ℓ₂cosθ₂}
 
= (m₁ + m₂)ℓ₁{(1/2)ℓ₁θ(・)₁² + gcosθ₁}
+ m₂ℓ₂{(1/2)ℓ₂θ(・)₂² + gcosθ₂ + ℓ₁θ(・)₁θ(・)₂cos(θ₁ - θ₂)}
 
 
▼ ラグランジュ方程式
q_i = θ_iとして
(d/dt)(∂L/∂q(・)_i) = (∂L/∂q_i)
を解く
 
(d/dt)(∂/∂θ(・)₁)[(m₁ + m₂)ℓ₁{(1/2)ℓ₁θ(・)₁² + gcosθ₁}
+ m₂ℓ₂{(1/2)ℓ₂θ(・)₂² + gcosθ₂ + ℓ₁θ(・)₁θ(・)₂cos(θ₁ - θ₂)}]
= (d/dt)[(m₁ + m₂)ℓ₁ℓ₁θ(・)₁ + m₂ℓ₂{ℓ₁θ(・)₂cos(θ₁ - θ₂)}]
= (m₁ + m₂)ℓ₁²θ(･･)₁ 
+ m₂ℓ₂ℓ₁{θ(･･)₂cos(θ₁ - θ₂) - θ(・)₂(θ(・)₁ - θ(・)₂)sin(θ₁ - θ₂)}
= (m₁ + m₂)ℓ₁²θ(･･)₁ + m₂ℓ₂ℓ₁θ(･･)₂cos(θ₁ - θ₂)
- m₂ℓ₂ℓ₁θ(・)₂θ(・)₁sin(θ₁ - θ₂) + m₂ℓ₂ℓ₁θ(・)₂²sin(θ₁ - θ₂)
 
(d/dt)(∂/∂θ(・)₂)[(m₁ + m₂)ℓ₁{(1/2)ℓ₁θ(・)₁² + gcosθ₁}
+ m₂ℓ₂{(1/2)ℓ₂θ(・)₂² + gcosθ₂ + ℓ₁θ(・)₁θ(・)₂cos(θ₁ - θ₂)}]
= (d/dt)[m₂ℓ₂{ℓ₂θ(・)₂ + ℓ₁θ(・)₁cos(θ₁ - θ₂)}]
= m₂ℓ₂²θ(･･)₂ 
+ m₂ℓ₂ℓ₁{θ(･･)₁cos(θ₁ - θ₂) - θ(・)₁(θ(・)₁ - θ(・)₂)sin(θ₁ - θ₂)}
= m₂ℓ₂²θ(･･)₂ + m₂ℓ₂ℓ₁θ(･･)₁cos(θ₁ - θ₂)
- m₂ℓ₂ℓ₁θ(・)₁²sin(θ₁ - θ₂) + m₂ℓ₂ℓ₁θ(・)₁θ(・)₂sin(θ₁ - θ₂)
 
(∂/∂θ₁)[(m₁ + m₂)ℓ₁{(1/2)ℓ₁θ(・)₁² + gcosθ₁}
+ m₂ℓ₂{(1/2)ℓ₂θ(・)₂² + gcosθ₂ + ℓ₁θ(・)₁θ(・)₂cos(θ₁ - θ₂)}]
= -(m₁ + m₂)ℓ₁gsinθ₁ - m₂ℓ₂ℓ₁θ(・)₁θ(・)₂sin(θ₁ - θ₂)
 
(∂/∂θ₂)[(m₁ + m₂)ℓ₁{(1/2)ℓ₁θ(・)₁² + gcosθ₁}
+ m₂ℓ₂{(1/2)ℓ₂θ(・)₂² + gcosθ₂ + ℓ₁θ(・)₁θ(・)₂cos(θ₁ - θ₂)}]
= m₂ℓ₂{-gsinθ₂ + ℓ₁θ(・)₁θ(・)₂sin(θ₁ - θ₂)}
= - m₂ℓ₂gsinθ₂ + m₂ℓ₂ℓ₁θ(・)₁θ(・)₂sin(θ₁ - θ₂)
 
(d/dt)(∂L/∂θ(・)₁) = (∂L/∂θ₁)より
 
(m₁ + m₂)ℓ₁²θ(･･)₁ + m₂ℓ₂ℓ₁θ(･･)₂cos(θ₁ - θ₂)
- m₂ℓ₂ℓ₁θ(・)₂θ(・)₁sin(θ₁ - θ₂) + m₂ℓ₂ℓ₁θ(・)₂²sin(θ₁ - θ₂)
= -(m₁ + m₂)ℓ₁gsinθ₁ - m₂ℓ₂ℓ₁θ(・)₁θ(・)₂sin(θ₁ - θ₂)
 
(m₁ + m₂)ℓ₁²θ(･･)₁ + m₂ℓ₂ℓ₁θ(･･)₂cos(θ₁ - θ₂)
+ m₂ℓ₂ℓ₁θ(・)₂²sin(θ₁ - θ₂) = -(m₁ + m₂)ℓ₁gsinθ₁ 
 
(m₁ + m₂)ℓ₁²θ(･･)₁ 
+ m₂ℓ₂ℓ₁{θ(･･)₂cos(θ₁ - θ₂) + θ(・)₂²sin(θ₁ - θ₂)}
= -(m₁ + m₂)ℓ₁gsinθ₁ 
 
(m₁ + m₂)ℓ₁θ(･･)₁ 
+ m₂ℓ₂{θ(･･)₂cos(θ₁ - θ₂) + θ(・)₂²sin(θ₁ - θ₂)}
= -(m₁ + m₂)gsinθ₁   … ①
 
 
(d/dt)(∂L/∂θ(・)₂) = (∂L/∂θ₂)より
 
m₂ℓ₂²θ(･･)₂ + m₂ℓ₂ℓ₁θ(･･)₁cos(θ₁ - θ₂)
- m₂ℓ₂ℓ₁θ(・)₁²sin(θ₁ - θ₂) + m₂ℓ₂ℓ₁θ(・)₁θ(・)₂sin(θ₁ - θ₂)
= - m₂ℓ₂gsinθ₂ + m₂ℓ₂ℓ₁θ(・)₁θ(・)₂sin(θ₁ - θ₂)
 
m₂ℓ₂²θ(･･)₂ + m₂ℓ₂ℓ₁θ(･･)₁cos(θ₁ - θ₂)
- m₂ℓ₂ℓ₁θ(・)₁²sin(θ₁ - θ₂) = - m₂ℓ₂gsinθ₂ 
 
m₂ℓ₂²θ(･･)₂ 
+ m₂ℓ₂ℓ₁{θ(･･)₁cos(θ₁ - θ₂) - θ(・)₁²sin(θ₁ - θ₂)}
= - m₂ℓ₂gsinθ₂ 
 
ℓ₂θ(･･)₂ + ℓ₁{θ(･･)₁cos(θ₁ - θ₂) - θ(・)₁²sin(θ₁ - θ₂)}
= - gsinθ₂  … ②
 
 
■ 結果
▼ 定義
ℓ_i :紐の長さ(m)
m_i :質点の質量(kg)
θ_i:鉛直下方向からの角度(rad)
g  :重力加速度
x_i :支点からの右方向の変位(m)
y_i :支点からの下方向の変位(m)
 
 
▼ 連立微分方程式
(m₁ + m₂)ℓ₁θ(･･)₁ 
+ m₂ℓ₂{θ(･･)₂cos(θ₁ - θ₂) + θ(・)₂²sin(θ₁ - θ₂)}
= -(m₁ + m₂)gsinθ₁  … ①
 
ℓ₂θ(･･)₂ + ℓ₁{θ(･･)₁cos(θ₁ - θ₂) - θ(・)₁²sin(θ₁ - θ₂)}
= - gsinθ₂  … ②