振り子 (4回目)

2024/1/3(水)
振り子 (4回目)
 
二重振り子(Double pendulum)
 
連立微分方程式の導出
(ニュートンの運動方程式)
 
 
■ 導出
▼ 定義
ℓi :紐の長さ(m)
mi :質点の質量(kg)
θi:鉛直下方向からの角度(rad)
Ti :張力
g  :重力加速度
 
 
▼ 位置r
xi :支点からの右方向の変位(m)
yi :支点からの下方向の変位(m)
r1 = (x1, y1) = (ℓ1sinθ1, ℓ1cosθ1)
r2 = (x2, y2)
= (x1 + ℓ2sinθ2, y1 + ℓ2cosθ2)
 
 
▼ 速度v
v1 = r(・)1 = (x(・)1, y(・)1) = (ℓ1θ(・)1cosθ1, -ℓ1θ(・)1sinθ1)
v2 = r(・)2 = (x(・)2, y(・)2)
= (x(・)1 + ℓ2θ(・)2cosθ2, y(・)1 - ℓ2θ(・)2sinθ2)
 
 
▼ 加速度a
a1 = v(・)1 = (x(･･)1, y(･･)1) = ℓ1(d/dt)(θ(・)1cosθ1, -θ(・)1sinθ1)
= ℓ1(θ(･･)1cosθ1 - θ(・)12sinθ1, -θ(･･)1sinθ1 - θ(・)12cosθ1)
a2 = v(・)2 = (x(･･)2, y(･･)2)
= (d/dt)(x(・)1 + ℓ2θ(・)2cosθ2, y(・)1 - ℓ2θ(・)2sinθ2)
= (x(･･)1 + ℓ2θ(･･)2cosθ2 - ℓ2θ(・)22sinθ2,
   y(･･)1 - ℓ2θ(･･)2sinθ2 - ℓ2θ(・)22cosθ2)
 
 
▼ ニュートンの運動方程式
(x(･･)1, y(･･)1)
= ℓ1(θ(･･)1cosθ1 - θ(・)12sinθ1, -θ(･･)1sinθ1 - θ(・)12cosθ1)
(x(･･)2, y(･･)2)
= (x(･･)1 + ℓ2θ(･･)2cosθ2 - ℓ2θ(・)22sinθ2,
   y(･･)1 - ℓ2θ(･･)2sinθ2 - ℓ2θ(・)22cosθ2)
 
ma = Fより
 
m1x(･･)1 = -T1sinθ1 + T2sinθ2 
m1y(･･)1 = -T1cosθ1 + T2cosθ2 + m1g
 
m2x(･･)2 = -T2sinθ2 
m2y(･･)2 = -T2cosθ2 + m2g
 
▼ 運動方程式(整理)
T2sinθ2 = -m2x(･･)2 
T2cosθ2 = -m2y(･･)2 + m2g
を
m1x(･･)1 = -T1sinθ1 + T2sinθ2 
m1y(･･)1 = -T1cosθ1 + T2cosθ2 + m1g
に代入
m1x(･･)1 + m2x(･･)2 = -T1sinθ1 
m1y(･･)1 + m2y(･･)2 = -T1cosθ1 + m2g + m1g
さらに
(m1x(･･)1 + m2x(･･)2)cosθ1 = -T1sinθ1cosθ1  
(m1y(･･)1 + m2y(･･)2)sinθ1 = -T1sinθ1cosθ1 + (m2 + m1)gsinθ1
差を取ると
(m1y(･･)1 + m2y(･･)2)sinθ1 - (m1x(･･)1 + m2x(･･)2)cosθ1 
= (m2 + m1)gsinθ1 
(m1y(･･)1 + m2y(･･)2 - m1g - m2g)sinθ1 = (m1x(･･)1 + m2x(･･)2)cosθ1 
 
また
 
m2x(･･)2 = -T2sinθ2 
m2y(･･)2 = -T2cosθ2 + m2g
より
m2x(･･)2cosθ2 = -T2sinθ2cosθ2 
m2y(･･)2sinθ2 = -T2sinθ2cosθ2 + m2gsinθ2
差を取ると
m2y(･･)2sinθ2 - m2x(･･)2cosθ2 = m2gsinθ2
(m2y(･･)2 - m2g)sinθ2 = m2x(･･)2cosθ2 
よって
 
(m1y(･･)1 + m2y(･･)2 - m1g - m2g)sinθ1 = (m1x(･･)1 + m2x(･･)2)cosθ1 
(m2y(･･)2 - m2g)sinθ2 = m2x(･･)2cosθ2 
となる
 
 
▼ 運動方程式(変形1)
(m1y(･･)1 + m2y(･･)2 - m1g - m2g)sinθ1 = (m1x(･･)1 + m2x(･･)2)cosθ1 
 
に
(x(･･)1, y(･･)1)
= ℓ1(θ(･･)1cosθ1 - θ(・)12sinθ1, -θ(･･)1sinθ1 - θ(・)12cosθ1)
(x(･･)2, y(･･)2)
= (x(･･)1 + ℓ2θ(･･)2cosθ2 - ℓ2θ(・)22sinθ2,
   y(･･)1 - ℓ2θ(･･)2sinθ2 - ℓ2θ(・)22cosθ2)
を代入
 
{-m1ℓ1(θ(･･)1sinθ1 + θ(・)12cosθ1)
- m2ℓ1(θ(･･)1sinθ1 + θ(・)12cosθ1)
- m2ℓ2(θ(･･)2sinθ2 + θ(・)22cosθ2) - m1g - m2g}sinθ1 
= {m1ℓ1(θ(･･)1cosθ1 - θ(・)12sinθ1 
+ m2(ℓ1θ(･･)1cosθ1 - ℓ1θ(・)12sinθ1 
+ ℓ2θ(･･)2cosθ2 - ℓ2θ(・)22sinθ2)}cosθ1 
 
- m1ℓ1θ(･･)1sin2θ1 - m1ℓ1θ(・)12cosθ1sinθ1 
- m2ℓ1θ(･･)1sin2θ1 - m2ℓ1θ(・)12cosθ1sinθ1 
- m2ℓ2θ(･･)2sinθ2sinθ1 - m2ℓ2θ(・)22cosθ2sinθ1 
- m1gsinθ1 - m2gsinθ1 
- m1ℓ1θ(･･)1cos2θ1 + m1ℓ1θ(・)12sinθ1cosθ1 
- m2ℓ1θ(･･)1cos2θ1 + m2ℓ1θ(・)12sinθ1cosθ1
- m2ℓ2θ(･･)2cosθ2cosθ1 + m2ℓ2θ(・)22sinθ2cosθ1 
= 0
 
m1ℓ1θ(･･)1sin2θ1 + m1ℓ1θ(･･)1cos2θ1 
+ m2ℓ1θ(･･)1cos2θ1 + m2ℓ1θ(･･)1sin2θ1 
+ m2ℓ2θ(･･)2cosθ1cosθ2 + m2ℓ2θ(･･)2sinθ1sinθ2 
+ m1ℓ1θ(・)12cosθ1sinθ1 - m1ℓ1θ(・)12sinθ1cosθ1 
+ m2ℓ1θ(・)12cosθ1sinθ1 - m2ℓ1θ(・)12sinθ1cosθ1
+ m2ℓ2θ(・)22cosθ2sinθ1 - m2ℓ2θ(・)22sinθ2cosθ1 
+ m1gsinθ1 + m2gsinθ1 
= 0
 
(m1 + m2)ℓ1θ(･･)1 
+ m2ℓ2θ(･･)2(cosθ1cosθ2 + sinθ1sinθ2)
+ m1ℓ1θ(・)12(sinθ1cosθ1 - cosθ1sinθ1)
+ m2ℓ1θ(・)12(sinθ1cosθ1 - cosθ1sinθ1)
+ m2ℓ2θ(・)22(sinθ1cosθ2 - cosθ1sinθ2)
+ (m1g + m2g)sinθ1 
= 0
 
(m1 + m2)ℓ1θ(･･)1 + m2ℓ2θ(･･)2cos(θ1 - θ2)
+ m2ℓ2θ(・)22sin(θ1 - θ2) + (m1g + m2g)sinθ1 
= 0
 
(m1 + m2)ℓ 1θ(･･)1 
+ m2ℓ2{θ(･･)2cos(θ1 - θ2) + θ(・)22sin(θ1 - θ2)}
= -(m1 + m2)gsinθ1  … ①
 
▼ 運動方程式(変形2)
(m2y(･･)2 - m2g)sinθ2 = m2x(･･)2cosθ2 
に
(x(･･)1, y(･･)1)
= ℓ1(θ(･･)1cosθ1 - θ(・)12sinθ1, -θ(･･)1sinθ1 - θ(・)12cosθ1)
(x(･･)2, y(･･)2)
= (x(･･)1 + ℓ2θ(･･)2cosθ2 - ℓ2θ(・)22sinθ2,
   y(･･)1 - ℓ2θ(･･)2sinθ2 - ℓ2θ(・)22cosθ2)
を代入
 
{m2(-ℓ1θ(･･)1sinθ1 - ℓ1θ(・)12cosθ1 
- ℓ2θ(･･)2sinθ2 - ℓ2θ(・)22cosθ2) - m2g}sinθ2 
= m2(ℓ1θ(･･)1cosθ1 - ℓ1θ(・)12sinθ1 
+ ℓ2θ(･･)2cosθ2 - ℓ2θ(・)22sinθ2)cosθ2 
 
- m2ℓ1θ(･･)1sinθ1sinθ2 - m2ℓ1θ(・)12cosθ1sinθ2 
- m2ℓ2θ(･･)2sin2θ2 - m2ℓ2θ(・)22cosθ2sinθ2 - m2gsinθ2  
- m2ℓ1θ(･･)1cosθ1cosθ2 + m2ℓ1θ(・)12sinθ1cosθ2  
- m2ℓ2θ(･･)2cos2θ2 + m2ℓ2θ(・)22sinθ2cosθ2 = 0
 
m2ℓ1θ(･･)1sinθ1sinθ2 + m2ℓ1θ(･･)1cosθ1cosθ2 
+ m2ℓ2θ(･･)2sin2θ2 + m2ℓ2θ(･･)2cos2θ2 
+ m2ℓ1θ(・)12cosθ1sinθ2 - m2ℓ1θ(・)12sinθ1cosθ2  
+ m2ℓ2θ(・)22cosθ2sinθ2 - m2ℓ2θ(・)22sinθ2cosθ2 
+ m2gsinθ2 = 0
 
m2ℓ1θ(･･)1(cosθ1cosθ2 + sinθ1sinθ2) + m2ℓ2θ(･･)2 
+ m2ℓ1θ(・)12(cosθ1sinθ2 - sinθ1cosθ2)
+ m2ℓ2θ(・)22(cosθ2sinθ2 - sinθ2cosθ2)
+ m2gsinθ2 = 0
 
m2ℓ1θ(･･)1cos(θ1 - θ2) + m2ℓ2θ(･･)2 
- m2ℓ1θ(・)12sin(θ1 - θ2) + m2gsinθ2 = 0
 
ℓ2θ(･･)2 + ℓ1{θ(･･)1cos(θ1 - θ2) - θ(・)12sin(θ1 - θ2)}
= - gsinθ2  … ②
 
 
 
■ 結果
▼ 定義
ℓi :紐の長さ(m)
mi :質点の質量(kg)
θi:鉛直下方向からの角度(rad)
g  :重力加速度
xi :支点からの右方向の変位(m)
yi :支点からの下方向の変位(m)
 
 
▼ 連立微分方程式
(m1 + m2)ℓ 1θ(･･)1 
+ m2ℓ2{θ(･･)2cos(θ1 - θ2) + θ(・)22sin(θ1 - θ2)}
= -(m1 + m2)gsinθ1  … ①
 
ℓ2θ(･･)2 + ℓ1{θ(･･)1cos(θ1 - θ2) - θ(・)12sin(θ1 - θ2)}
= - gsinθ2  … ②
 
 
 

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