振り子 (5回目)

2024/1/6(土)
振り子 (5回目)
 
二重振り子(Double pendulum)
 
微分方程式の導出
 
■ 前提
▼ 定義
ℓ_i :紐の長さ(m)
m_i :質点の質量(kg)
θ_i:鉛直下方向からの角度(rad)
g  :重力加速度
x_i :支点からの右方向の変位(m)
y_i :支点からの下方向の変位(m)
 
▼ 連立微分方程式
(m₁ + m₂)ℓ ₁θ(･･)₁ 
+ m₂ℓ₂{θ(･･)₂cos(θ₁ - θ₂) + θ(・)₂²sin(θ₁ - θ₂)}
= -(m₁ + m₂)gsinθ₁  … ①
 
ℓ₂θ(･･)₂ + ℓ₁{θ(･･)₁cos(θ₁ - θ₂) - θ(・)₁²sin(θ₁ - θ₂)}
= -gsinθ₂  … ②
 
 
■ 導出
▼ 加速度ℓ₁θ(･･)₁ 
①式より
(m₁ + m₂)ℓ ₁θ(･･)₁ + m₂ℓ₂θ(･･)₂cos(θ₁ - θ₂)
+ m₂ℓ₂θ(・)₂²sin(θ₁ - θ₂) + (m₁ + m₂)gsinθ₁ = 0
 
 
②式×m₂cos(θ₁ - θ₂)より
m₂ℓ₂θ(･･)₂cos(θ₁ - θ₂) + m₂ℓ₁θ(･･)₁cos²(θ₁ - θ₂)
- m₂ℓ₁θ(・)₁²sin(θ₁ - θ₂)cos(θ₁ - θ₂)
+ m₂gsinθ₂cos(θ₁ - θ₂) = 0
 
差をとると
(m₁ + m₂)ℓ ₁θ(･･)₁ + m₂ℓ₂θ(･･)₂cos(θ₁ - θ₂)
+ m₂ℓ₂θ(・)₂²sin(θ₁ - θ₂) + (m₁ + m₂)gsinθ₁ 
- m₂ℓ₂θ(･･)₂cos(θ₁ - θ₂) - m₂ℓ₁θ(･･)₁cos²(θ₁ - θ₂)
+ m₂ℓ₁θ(・)₁²sin(θ₁ - θ₂)cos(θ₁ - θ₂)
- m₂gsinθ₂cos(θ₁ - θ₂)
 
= {m₁ + m₂ - m₂cos²(θ₁ - θ₂)}ℓ ₁θ(･･)₁ 
- {m₂sinθ₂cos(θ₁ - θ₂) - (m₁ + m₂)sinθ₁}g
+ {ℓ₂θ(・)₂² + ℓ₁θ(・)₁²cos(θ₁ - θ₂)}m₂sin(θ₁ - θ₂) = 0
 
整理して
{m₁ + m₂ - m₂cos²(θ₁ - θ₂)}ℓ ₁θ(･･)₁ 
= {m₂sinθ₂cos(θ₁ - θ₂) - (m₁ + m₂)sinθ₁}g
- {ℓ₂θ(・)₂²ℓ₁ + ℓ₁θ(・)₁²cos(θ₁ - θ₂)}m₂sin(θ₁ - θ₂)
 
 
▼ 加速度ℓ₂θ(･･)₂ 
①式×cos(θ₁ - θ₂)より
(m₁ + m₂)ℓ ₁θ(･･)₁cos(θ₁ - θ₂) + m₂ℓ₂θ(･･)₂cos²(θ₁ - θ₂)
+ m₂ℓ₂θ(・)₂²sin(θ₁ - θ₂)cos(θ₁ - θ₂)
+ (m₁ + m₂)gsinθ₁cos(θ₁ - θ₂) = 0
 
②式×(m₁ + m₂)より
(m₁ + m₂)ℓ₂θ(･･)₂ + (m₁ + m₂)ℓ₁θ(･･)₁cos(θ₁ - θ₂)
- (m₁ + m₂)ℓ₁θ(・)₁²sin(θ₁ - θ₂) + (m₁ + m₂)gsinθ₂ = 0
 
差をとると
(m₁ + m₂)ℓ ₁θ(･･)₁cos(θ₁ - θ₂) + m₂ℓ₂θ(･･)₂cos²(θ₁ - θ₂)
+ m₂ℓ₂θ(・)₂²sin(θ₁ - θ₂)cos(θ₁ - θ₂)
+ (m₁ + m₂)gsinθ₁cos(θ₁ - θ₂)
- (m₁ + m₂)ℓ₂θ(･･)₂ - (m₁ + m₂)ℓ₁θ(･･)₁cos(θ₁ - θ₂)
+ (m₁ + m₂)ℓ₁θ(・)₁²sin(θ₁ - θ₂) - (m₁ + m₂)gsinθ₂ 
 
= -{m₁ + m₂ - m₂cos²(θ₁ - θ₂)}ℓ₂θ(･･)₂ 
+ {sinθ₁cos(θ₁ - θ₂) - sinθ₂}(m₁ + m₂)g
+ {(m₁ + m₂)ℓ₁θ(・)₁² + m₂ℓ₂θ(・)₂²cos(θ₁ - θ₂)}sin(θ₁ - θ₂) = 0
 
整理して
{m₁ + m₂ - m₂cos²(θ₁ - θ₂)}ℓ₂θ(･･)₂ 
= {sinθ₁cos(θ₁ - θ₂) - sinθ₂}(m₁ + m₂)g
+ {(m₁ + m₂)ℓ₁θ(・)₁² + m₂ℓ₂θ(・)₂²cos(θ₁ - θ₂)}sin(θ₁ - θ₂)
 
 
■ 結果
▼ 定義
ℓ_i :紐の長さ(m)
m_i :質点の質量(kg)
θ_i:鉛直下方向からの角度(rad)
g  :重力加速度
x_i :支点からの右方向の変位(m)
y_i :支点からの下方向の変位(m)
 
▼ 微分方程式
{m₁ + m₂ - m₂cos²(θ₁ - θ₂)}ℓ ₁θ(･･)₁ 
= {m₂sinθ₂cos(θ₁ - θ₂) - (m₁ + m₂)sinθ₁}g
- {ℓ₂θ(・)₂²ℓ₁ + ℓ₁θ(・)₁²cos(θ₁ - θ₂)}m₂sin(θ₁ - θ₂)
 
{m₁ + m₂ - m₂cos²(θ₁ - θ₂)}ℓ₂θ(･･)₂ 
= {sinθ₁cos(θ₁ - θ₂) - sinθ₂}(m₁ + m₂)g
+ {(m₁ + m₂)ℓ₁θ(・)₁² + m₂ℓ₂θ(・)₂²cos(θ₁ - θ₂)}sin(θ₁ - θ₂)