剛体力学 (2回目)

2024/1/22(月)
剛体力学 (2回目)
 
剛体力学
(Rigid body mechanics)
 
斜面の転がりと滑り
 
■ 定義
▼ 座標
θ:回転角(rad)
ω:回転角速度(rad/s)
α:回転角加速度(rad/s²)
φ:傾斜角(rad)
m :剛体の質量(kg)
r :球(円柱)の半径(m)
h :円柱の高さ(m)
g :重力加速度(m/s²)
a :剛体回転軸位置の加速度(m/s²)
v :剛体回転軸位置の速度(m/s)
x :剛体回転軸位置(m)
I :慣性モーメント(kg･m²)
F :静止摩擦力(N)
 
I = (2/5)mr²  … 球
I = (1/2)mr²  … 円柱
 
 
■ 導出
▼ 運動方程式

 

 
図1
 
ma = mgsinφ – F  … (運動方程式)
 
Iα = rF  … (回転力)
a = rα  … (加速度)
より
rF = Ia/r
F = (I/r²)a  … (静止摩擦力)
 
を
ma + F = mgsinφ
に代入
(m + I/r²)a = mgsinφ
a = (mgsinφ)/(m + I/r²)
 
▼ 摩擦力0の時
F = (I/r²)a = 0  … (r ＞ 0, a ≠ 0)
より
I = 0
a = (mgsinφ)/(m + I/r²)
= gsinφ
 
▼ 球の時
I = (2/5)mr² 
a = (mgsinφ)/(m + I/r²)
= (mgsinφ)/{m + (2/5)mr²/r²}
= (gsinφ)/(1 + 2/5)
= (5/7)gsinφ
 
▼ 円柱の時
I = (1/2)mr² 
a = (mgsinφ)/(m + I/r²)
= (gsinφ)/(1 + 1/2)
= (2/3)gsinφ
 
▼ 速度と位置
加速度a = const.(一定)
速度 v = ∫adt
= at + v₀  … (v=v₀ if t=0)
位置 x = ∫vdt
= (1/2)at² + v₀t  + x₀  … (x=x₀ if t=0)
 
 
■ 結果
▼ 座標
θ:回転角(rad)
ω:回転角速度(rad/s)
α:回転角加速度(rad/s²)
φ:傾斜角(rad)
m :剛体の質量(kg)
r :球(円柱)の半径(m)
h :円柱の高さ(m)
g :重力加速度(m/s²)
a :剛体回転軸位置の加速度(m/s²)
v :剛体回転軸位置の速度(m/s)
x :剛体回転軸位置(m)
I :慣性モーメント(kg･m²)
F :静止摩擦力(N)
 
I = (2/5)mr²  … 球
I = (1/2)mr²  … 円柱
 
▼ 運動方程式
ma = mgsinφ – F
a = (mgsinφ)/(m + I/r²)
 
I = 0      if F = 0
a = gsinφ if F = 0
 
a = (5/7)gsinφ  … 球
a = (2/3)gsinφ  … 円柱
 
a = const.(一定)
v = v₀ + at
x = x₀ + v₀t + (1/2)at² 
 
a = rα
v = rω
x = rθ