サイコロの出目の和 (4回目)

2024/2/18(日)
サイコロの出目の和 (4回目)
 
出目1～dのサイコロn個の和がkとなる場合の数
 
■ 場合の集合(前回より)
▼ 集合の定義
集合Aの場合の数(要素数)は|A|と書く
 
n個のサイコロの出目1～dの和がkとなる集合をAとする
(|A|を求めることが目的)
 
n個のサイコロの出目1～?の和がkとなる集合をA₀とする
(出目がd以下とdを超える場合のすべてを含む)
 
i番目のサイコロの出目がdを超える集合をA_iとする
(i=1～n, i番目以外がdを超える場合も含む)
 
▼ |A|の集合の式
|A| = |A₀| - |A₁∪A₂∪…∪A_n|
= |A₀|
- (|A₁|+|A₂|+…+|A_n|)
+ (|A₁∩A₂|+…+|A₁∩A_n|+…+|A₂∩A₃|+…+|A_n-1∩A_n|)
+(-1)^r(|A₁∩A₂∩…∩A_r|+…+|A_n-r+1∩A_n-r+2∩…∩A_n|)
+(-1)ⁿ|A₁∩A₂∩…∩A_n|
となる
 
 
■ 集合の場合の数を考える
▼ 例
n個のサイコロの出目1～dの和がkとなる場合の数
n = 3, d = 6, k = 10で考える
 
▼ |A₀|を考える
n個のサイコロの和の最小値はnなので
k ≧ nとする(この条件以外での場合の数は0)
 
出目が1～d(=6)の場合の和がk(=10)となる場合の数
〇の数を和k(=10)、_は|を置く場所k-1(=9)か所
|をn-1(=2)個とする
 
〇_〇_〇_〇_〇_〇_〇_〇_〇_〇
k-1(=9)か所の_にn-1(=2)か所|を置くと例えば
〇_〇|〇_〇_〇_〇_〇|〇_〇_〇
(1個目2, 2個目5, 3個目3の出目)
 
これはk-1(=9)個からn-1(=2)個を選ぶ組み合わせなので
_k-1C_n-1 = ₉C₂ = 9!/(7!2!) = 9･8/2 = 36通り
 
これは出ない出目d+1(=7)～k-2(=8)を含んでいる
 
|A₀| = _k-1C_n-1 (if k ≧ n)
 
 
▼ |A_i|(i=1～n)を考える
n個のサイコロの内少なくとも1個はd+1以上なので
和の最小値はn-1+d+1 = n+dとなり
k ≧ n + dとする(この条件以外での場合の数は0)
 
出目が1～d(=6)の場合の和がk(=10)となる場合の数
〇の数を和k-d(=4)、_は|を置く場所k-d-1(=3)か所
|をn-1(=2)個、d+1以上の出目をi(=2)番目とする
i番目はd(=6)を引いておき後でd(=6)を足すことで
d+1(=7)以上の出目にする
 
〇_〇_〇_〇
k-d-1(=3)か所の_にn-1(=2)か所|を置くと例えば
〇_〇|〇|〇
(1個目2, 2個目1+6, 3個目1の出目
k = 2+(1+6)+1 = 2+7+1 = 10となり
i(=2)番目は6+1以上の出目になる)
 
これはk-d-1(=3)個からn-1(=2)個を選ぶ組み合わせなので
_k-d-1C_n-1 = ₃C₂ = 3!/(1!2!) = 3･2/2 = 3通り
 
|A_i| = _k-d-1C_n-1 (if k ≧ n + d)
|A_i|はi=1～nつまり_nC₁通りあるので(₃C₁ = 3)
|A₁|+|A₂|+…+|A_n| = _nC₁･_k-d-1C_n-1 (if k ≧ n + d)
 
|A₀| = 36通り
|A₁|+|A₂|+|A₃| = _nC₁･_k-d-1C_n-1 = 3･3 = 9通り
|A| = |A₀| - (|A₁|+|A₂|+|A₃|) = 36 - 9 = 27通り
(前回の考察と同じ27通りとなった)
 
 
▼ |A_i∩A_j|(i,j=1～n, i≠j)を考える
n個のサイコロの内少なくとも2個はd+1以上なので
和の最小値はn-2+2(d+1) = n+2dとなり
k ≧ n + 2dとする(この条件以外での場合の数は0)
(k=10,n=3,d=6では10<3+2･6=15より0通りなので
ここではk=16の場合を考える)
 
出目が1～d(=6)の場合の和がk(=16)となる場合の数
〇の数を和k-2d(=4)、_は|を置く場所k-2d-1(=3)か所
|をn-1(=2)個、d+1以上の出目をi,j(=1,2)番目とする
i,j番目はd(=6)を引いておき後でd(=6)を足すことで
d+1(=7)以上の出目にする
 
〇_〇_〇_〇
k-2d-1(=2)か所の_にn-1(=2)か所|を置くと例えば
〇_〇|〇|〇
(1個目2+6, 2個目1+6, 3個目1の出目
k = (2+6)+(1+6)+1 = 8+7+1 = 16となり
i,j(=1,2)番目は6+1以上の出目になる)
 
これはk-2d-1(=3)個からn-1(=2)個を選ぶ組み合わせなので
_k-2d-1C_n-1 = ₃C₂ = 3!/(1!2!) = 3通り
 
|A_i∩A_j| = _k-2d-1C_n-1 (if k ≧ n + 2d)
|A_i∩A_j|はn個から2個(iとj)を選ぶ組み合わせなので
_nC₂通りあるので
Σ[i,j=1～n, i≠j]|A_i∩A_j|
= Σ[i=1～n-1]Σ[j=i+1～n]|A_i∩A_j|
= _nC₂･_k-2d-1C_n-1 (if k ≧ n + 2d)
 
 
▼ |A_i∩A_j∩…|(i,j,…=1～n, i≠j≠…)を考える
|A_i∩A_j|の2個を|A_i∩A_j∩…|のr個に拡張して考える
 
n個のサイコロの内少なくともr個はd+1以上なので
和の最小値はn-r+r(d+1) = n+rdとなり
k ≧ n + rdとする(この条件以外での場合の数は0)
 
出目が1～dの場合の和がkとなる場合の数
〇の数を和k-rd、_は|を置く場所k-2d-1か所
|をn-1個、d+1以上の出目をr個とする
r個はdを引いておき後でdを足すことで
d+1以上の出目にする
 
これはk-rd-1個からn-1個を選ぶ組み合わせなので
_k-rd-1C_n-1 通り
 
|A_i∩A_j∩…| = _k-rd-1C_n-1 (if k ≧ n + rd)
|A_i∩A_j∩…|はn個からr個を選ぶ組み合わせなので
_nC_r通りあるので
 
Σ[i,j,…=1～n, i≠j≠…]|A_i∩A_j∩…|
= Σ[i=1～n-r+1]Σ[j=i+1～n-r+2]…|A_i∩A_j∩…|
= _nC_r･_k-rd-1C_n-1 (if k ≧ n + rd)
 
 
▼ |A|
k ≧ n + rdよりr ≦ (k-n)/dなので
r ≦ [(k-n)/d]とする([]はガウス記号,[1.5]=1)
よって
f(r) = Σ[i,j,…=1～n, i≠j≠…]|A_i∩A_j∩…|
= _nC_r･_k-rd-1C_n-1 (r = 1～[(k-n)/d])
と置くと(r > [(k-n)/d]のときはf(r)=0)
 
- (|A₁|+|A₂|+…+|A_n|) = (-1)¹･F(1)
+ (|A₁∩A₂|+…+|A₁∩A_n|+…+|A₂∩A₃|+…+|A_n-1∩A_n|)= (-1)²f(2)
…
+(-1)ⁿ|A₁∩A₂∩…∩A_n| = (-1)ⁿf(n)
 
また
F(0) = _nC₀･_k-0d-1C_n-1 =  1･_k-1C_n-1 = _k-1C_n-1 なので
|A₀| = _k-1C_n-1 = (-1)⁰f(0)
 
よって
|A| = |A₀| - |A₁∪A₂∪…∪A_n|
= |A₀|
- (|A₁|+|A₂|+…+|A_n|)
+ (|A₁∩A₂|+…+|A₁∩A_n|+…+|A₂∩A₃|+…+|A_n-1∩A_n|)
+(-1)^r(|A₁∩A₂∩…∩A_r|+…+|A_n-r+1∩A_n-r+2∩…∩A_n|)
+(-1)ⁿ|A₁∩A₂∩…∩A_n|
 
= Σ[r=0～n](-1)^rf(r) (r > [(k-n)/d]のときはf(r)=0)
= Σ[r=0～[(k-n)/d]](-1)^rf(r)
= Σ[r=0～[(k-n)/d]](-1)^r_nC_r･_k-rd-1C_n-1 
 
 
▼ 式変形
_nC_r･_k-rd-1C_n-1 
= n!/{(n-r)!r!}･(k-rd-1)!/{(k-rd-1-(n-1))!(n-1)!}
= n!(k-rd-1)!/{(n-r)!r!(k-rd-n)!(n-1)!}
= n(k-rd-1)!/{(n-r)!r!(k-rd-n)!}
= {n/((n-r)!r!)}(k-rd-1)(k-rd-2)…(k-rd-(n-1))
= {n/((n-r)!r!)}_k-rd-1P_n-1 
 
Σ[ r=0～[(k-n)/d] ](-1)^r_nC_r･_k-rd-1C_n-1 
= Σ[ r=0～[(k-n)/d] ]
(-1)^r{n/((n-r)!r!)}_k-rd-1P_n-1 
 
 
■ 対称性
(2回目)より
k = k₁ = n ～[(n+nd  )/2] (n=3,d=6のとき 3～10)と
k = k₂ = nd～[(n+nd+1)/2] (n=3,d=6のとき18～11)は
同じ場合の数になることが予想される
 
これは
k₁ = n+nd - k₂ でkを置き換え
d～[(d+1)/2]を1～[d/2]に置き換えれば
同じ結果となる
 
(3個のサイコロで
kを3+18-k、18～11を3～10にしても結果は同じ)
 
 
■ 結果
出目1～dのサイコロn個の和がkとなる場合の数は
 
_[(k-n)/d]
Σ(-1)^r･_nC_r･_k-rd-1C_n-1 

^r=0
または
_[(k-n)/d]
Σ(-1)^r(_k-rd-1P_n-1)n/{(n-r)!r!}
^r=0
 
([x]はガウス記号でxを超えない最大の整数)
k = n～nd
 
また
k = k₁ = n ～[(n+nd  )/2] (n=3,d=6のとき 3～10)と
k = k₂ = nd～[(n+nd+1)/2] (n=3,d=6のとき18～11)は
同じ場合の数になる
k₁ = n+nd - k₂