n進タイマー
2024/4/19(金)
n進タイマー
■ 2024年共通テストI･Aのタイマーの問題
▼ 前提
Tn(n = 3,4,6)をn進数下3桁のタイマーとする
xを数値としxxは10進数、xx(n)はn進数を表すとする
▼ 問題
1. 40秒後のT6は?
2. T4が初めて000(4)に戻るのは何秒後?
3. T4,T6が初めて同時に000(n)に戻るのは何秒後?
4. t秒後にT4が012(4)となるのは
t ÷ a = ? … b を満たす時である、a,bは?
[b ≡ t (MOD a), b ＜ a]
5. 初めてT3,T4が同時に012(n)となるのは何秒後?
6. 初めてT4,T6が同時に012(n)となるのは何秒後?
▼ 1の解答
1. 40秒後のT6は?
40を6進数に変換
6)40
6) 6 … 4
1 … 0
A. 104(6)
▼ 2の解答
2. T4が初めて000(4)に戻るのは何秒後?
1000(4)を10進数に変換
1･43 + 0･42 + 0･41 + 0･40 = 1･43 = 64
A. 64秒後
▼ 3の解答
3. T4,T6が初めて同時に000(n)に戻るのは何秒後?
1000(4) → 64 (= 43) … 問2より
1000(6) → 63 = 216
これらの最小公倍数が答えとなる
23)43 63
23 33
lcm(64, 216) = 23･23･33 = 8･8･27
= 64･27 = 1728
A. 1728秒後
▼ 4の解答
4. t秒後にT4が012(4)となるのは
t ÷ a = ? … b を満たす時である、a,bは?
1000(4) → 64 … 問2より
012(4) → 1･41 + 2･40 = 4 + 2 = 6
t ÷ 64 = ? … 6
A. a = 64, b = 6
▼ 5の解答
5. 初めてT3,T4が同時に012(n)となるのは何秒後?
1000(3) → 33 = 27
012(3) → 1･31 + 2･30 = 3+2 = 5
1000(4) → 64(=43) … 問2より
012(4) → 6 … 問4より
t ÷ 27 = x … 5
t ÷ 64 = y … 6
より
t = 27x + 5 = 64y + 6
(x = y = 0の時成り立たないのでx, y ≧ 1)
27x - 64y = 1
ユークリッドの互除法
64 = 27･2 + 10 → 10 = 64 - 27･2
27 = 10･2 + 7 → 7 = 27 - 10･2
10 = 7･1 + 3 → 3 = 10 - 7･1
7 = 3･2 + 1 → 1 = 7 - 3･2 の3に代入
= 7 - (10 - 7･1)･2 = 7･3 - 10･2 の7に代入
= (27 - 10･2)･3 - 10･2 = 27･3 - 10･8 の10に代入
= 27･3 - (64 - 27･2)･8 = 27･19 - 64･8
27x - 64y = 1
-)27･19 - 64･8 = 1
27(x-19) - 64(y-8) = 0
(これ以上割れないので27,64は互いに素)
x - 19 = 64kと置けて → x = 64k + 19
y - 8 = 27kと置けて → y = 27k + 8
x≧1なのでk=0のとき最小値x = 19
y≧1なのでk=0のとき最小値y = 8
よって
t = 27x + 5 = 27･19 + 5 = 518
t = 64y + 6 = 64･8 + 6 = 518
A. 518秒後
▼ 5の別解
5. 初めてT3,T4が同時に012(n)となるのは何秒後?
1000(3) → 33 = 27
012(3) → 1･31 + 2･30 = 3+2 = 5
1000(4) → 64(=43) … 問2より
012(4) → 6 … 問4より
t ÷ 27 = x … 5
t ÷ 64 = y … 6
より
t = 27x + 5 = 64y + 6
(x = y = 0の時成り立たないのでx, y ≧ 1)
27x = 64y + 1 = 2･27y + 10y + 1
より
10y + 1は27の倍数で
下1桁は1、 (例11, 21, …, 81, 91, 101, …)
27の倍数 = 27, 54, 81, … なので(x,y≧1)
10y + 1 = 81 … (最小値)
y = 8
t = 64y + 6 = 64･8 + 6 = 518
A. 518秒後
▼ 6の解答
6. 初めてT4,T6が同時に012(n)となるのは何秒後?
1000(4) → 64(=43) … 問2より
012(4) → 6 … 問4より
1000(6) → 216(=63) … 問3より
012(6) → 1･61 + 2･60 = 6+2 = 8
t ÷ 64 = x' … 6
t ÷ 216 = y' … 8
より
t = 64x' + 6 = 216y' + 8
64x' - 216y' = 2
32x' - 108y' = 1 … 左辺偶数, 右辺奇数より
t = 64x' + 6 = 216y' + 8を満たす整数は存在しない
A. 同時に012(n)と表示される事はない
n進タイマー
■ 2024年共通テストI･Aのタイマーの問題
▼ 前提
Tn(n = 3,4,6)をn進数下3桁のタイマーとする
xを数値としxxは10進数、xx(n)はn進数を表すとする
▼ 問題
1. 40秒後のT6は?
2. T4が初めて000(4)に戻るのは何秒後?
3. T4,T6が初めて同時に000(n)に戻るのは何秒後?
4. t秒後にT4が012(4)となるのは
t ÷ a = ? … b を満たす時である、a,bは?
[b ≡ t (MOD a), b ＜ a]
5. 初めてT3,T4が同時に012(n)となるのは何秒後?
6. 初めてT4,T6が同時に012(n)となるのは何秒後?
▼ 1の解答
1. 40秒後のT6は?
40を6進数に変換
6)40
6) 6 … 4
1 … 0
A. 104(6)
▼ 2の解答
2. T4が初めて000(4)に戻るのは何秒後?
1000(4)を10進数に変換
1･43 + 0･42 + 0･41 + 0･40 = 1･43 = 64
A. 64秒後
▼ 3の解答
3. T4,T6が初めて同時に000(n)に戻るのは何秒後?
1000(4) → 64 (= 43) … 問2より
1000(6) → 63 = 216
これらの最小公倍数が答えとなる
23)43 63
23 33
lcm(64, 216) = 23･23･33 = 8･8･27
= 64･27 = 1728
A. 1728秒後
▼ 4の解答
4. t秒後にT4が012(4)となるのは
t ÷ a = ? … b を満たす時である、a,bは?
1000(4) → 64 … 問2より
012(4) → 1･41 + 2･40 = 4 + 2 = 6
t ÷ 64 = ? … 6
A. a = 64, b = 6
▼ 5の解答
5. 初めてT3,T4が同時に012(n)となるのは何秒後?
1000(3) → 33 = 27
012(3) → 1･31 + 2･30 = 3+2 = 5
1000(4) → 64(=43) … 問2より
012(4) → 6 … 問4より
t ÷ 27 = x … 5
t ÷ 64 = y … 6
より
t = 27x + 5 = 64y + 6
(x = y = 0の時成り立たないのでx, y ≧ 1)
27x - 64y = 1
ユークリッドの互除法
64 = 27･2 + 10 → 10 = 64 - 27･2
27 = 10･2 + 7 → 7 = 27 - 10･2
10 = 7･1 + 3 → 3 = 10 - 7･1
7 = 3･2 + 1 → 1 = 7 - 3･2 の3に代入
= 7 - (10 - 7･1)･2 = 7･3 - 10･2 の7に代入
= (27 - 10･2)･3 - 10･2 = 27･3 - 10･8 の10に代入
= 27･3 - (64 - 27･2)･8 = 27･19 - 64･8
27x - 64y = 1
-)27･19 - 64･8 = 1
27(x-19) - 64(y-8) = 0
(これ以上割れないので27,64は互いに素)
x - 19 = 64kと置けて → x = 64k + 19
y - 8 = 27kと置けて → y = 27k + 8
x≧1なのでk=0のとき最小値x = 19
y≧1なのでk=0のとき最小値y = 8
よって
t = 27x + 5 = 27･19 + 5 = 518
t = 64y + 6 = 64･8 + 6 = 518
A. 518秒後
▼ 5の別解
5. 初めてT3,T4が同時に012(n)となるのは何秒後?
1000(3) → 33 = 27
012(3) → 1･31 + 2･30 = 3+2 = 5
1000(4) → 64(=43) … 問2より
012(4) → 6 … 問4より
t ÷ 27 = x … 5
t ÷ 64 = y … 6
より
t = 27x + 5 = 64y + 6
(x = y = 0の時成り立たないのでx, y ≧ 1)
27x = 64y + 1 = 2･27y + 10y + 1
より
10y + 1は27の倍数で
下1桁は1、 (例11, 21, …, 81, 91, 101, …)
27の倍数 = 27, 54, 81, … なので(x,y≧1)
10y + 1 = 81 … (最小値)
y = 8
t = 64y + 6 = 64･8 + 6 = 518
A. 518秒後
▼ 6の解答
6. 初めてT4,T6が同時に012(n)となるのは何秒後?
1000(4) → 64(=43) … 問2より
012(4) → 6 … 問4より
1000(6) → 216(=63) … 問3より
012(6) → 1･61 + 2･60 = 6+2 = 8
t ÷ 64 = x' … 6
t ÷ 216 = y' … 8
より
t = 64x' + 6 = 216y' + 8
64x' - 216y' = 2
32x' - 108y' = 1 … 左辺偶数, 右辺奇数より
t = 64x' + 6 = 216y' + 8を満たす整数は存在しない
A. 同時に012(n)と表示される事はない
