カード

カード

2024/5/17(金)

カード

■ 問題
1,2,3のいずれかが書かれたカード24枚をよく切って2枚取出す
取出したカードの和が3になる確率は20/69
取出したカードの積が6になる確率は5/23である
1と書かれたカードは何枚であったか
[`03日本獣畜大(改)]

■ 解答1
1,2,3の枚数をそれぞれx,y,z枚とする
24枚中2枚取出す組合せは
₂₄C₂ = 24!/{(24-2)!2!} = 24･23/2! = 12･23

和が3になるのは1と2なのでその組合せは
xy通りあるので確率は
xy/(12･23) = 20/69
となり
xy = 20･12･23/69 = 240/3 = 80 > 0
よって
x > 0, y > 0なので
x = 80/y

積が6になるのは2と3なのでその組合せは
yz通りあるので確率は
yz/(12･23) = 5/23
となり
yz = 5･12･23/23 = 60 > 0
よって
y > 0, z > 0なので
z = 60/y

x+y+z = 80/y + y + 60/y = 24
80 + y² + 60 = 24y
y² - 24y + 140 = 0
(y - 10)(y - 14) = 0
y = 10, 14

y = 10のとき
x = 80/y = 80/10 = 8
z = 60/y = 60/10 = 6

y = 14のとき
x = 80/y = 80/14 = 40/7
z = 60/y = 60/14 = 30/7
x, zが整数ではないので不適

よって
x = 8, y = 10, z = 6
答. 1は8枚

■ 解答2(別解)
1,2,3の枚数をそれぞれx,y,z枚とする

和が3になるのは(1,2)又は(2,1)なので確率は
(x/24)(y/23) + (y/24)(x/23)
= xy/(12･23) = 20/69
より
xy = 20･12･23/69 = 4･5･4 = 2⁴･5

積が6になるのは(2,3)又は(3,2)なので確率は
(y/24)(z/23) + (z/24)(y/23)
= yz/(12･23) = 5/23
より
yz = 5･12･23/23 = 5･3･4 = 2²･3･5

xy = 2⁴･5
yz = 2²･3･5
なので
y = 2ⁿ･5  … (n = 0,1,2)
x = 2^4-n
z = 2^2-n･3
n
0
1
2
x
2⁴   = 16
2³   = 8
2²   = 4
y
2⁰･5 = 5
2¹･5 = 10
2²･5 = 20
z
2²･3 = 12
2¹･3 = 6
2⁰･3 = 3
計
33
24
27
よって
x = 8, y = 10, z = 6
答. 1は8枚