軌跡

2024/5/2(木)
軌跡
 
(locus)
 
■ 問題
点(x,y)が原点を中心とする半径1の円の内部を
動くとき、点(x+y,xy)の動く範囲を図示せよ。
[1954年 東京大]
 
■ 解答
X = x+y, Y = xyと置く
円
x² + y² < r²  … (r = 1)
変形
x² + y² = (x + y)² - 2xy = X² - 2Y
より
X² - 2Y < r²  
Y > (1/2)X² - (1/2)r² 
 
この式を満たす実数X,Yに対応する
x,yが実数でない場合を除く必要がある
 
X = x+y, Y = xyより
y = X - x
Y = x(X - x)
x² - Xx + Y = 0
(yについても同様に)
y² - Xy + Y = 0
x,yが実数である為には
D = X² - 4Y ≧ 0
を満たせば良い
 
よって
Y ＞ (1/2)X² - (1/2)r²  … (r = 1)
Y ≦ (1/4)X² 
を図示すればよい
 
(三日月状の領域になる)