懸垂線 (2回目)

2024/6/11(木)
懸垂線 (2回目)
 
(catenary)
懸垂線(カテナリー、紐を垂らしたときの曲線)
(紐の底を原点、両端の高さを同じにする)
 
■ 前提
▼ 定義
g:重力加速度(m/s2)
ρ:紐の密度(kg/m)
H:水平張力(N)
f(x):懸垂線(カテナリー)
f'(x):懸垂線の傾き
ds:x~x+dx間の紐の長さ
 
▼ 懸垂線f(x)
A, B:積分定数
λ = ρg/H, H = T(x)cosθ(x) = const.
y(x) = (1/λ)cosh(λx + A) + B
y'(x) = sinh(λx + A)
ds = cosh(λx + A)dx
 
 
■ 導出
 積分定数の決定
cosh(t) = {exp(t) + exp(-t)}/2
sinh(t) = {exp(t) - exp(-t)}/2
 
y(x) = (1/λ)cosh(λx + A) + B
y'(x) = sinh(λx + A)
 
x = 0(y軸)を対称軸として紐の底は水平なので
y'(0) = 0より
y'(0) = sinh(λ・0 + A) = 0
A = 0
f(x) = (1/λ)cosh(λx + A) + B
= (1/λ)cosh(λx) + B
y'(x) = sinh(λx + A) = sinh(λx)
 
原点を紐の底にするので
f(0) = 0より
f(0) = (1/λ)cosh(λ・0) + B = 0
(1/λ) + B = 0
B = -1/λ
f(x) = (1/λ)cosh(λx) + B
= (1/λ)cosh(λx) - 1/λ
= (1/λ){cosh(λx) - 1}
 
 紐の長さL
x = -x1  x1 として
ds = cosh(λx + A)dx = cosh(λx)dx
 
L = ∫-x1x1ds = 20x1cosh(λx)dx
= (2/λ)[sinh(λx)]0x1 =
= (2/λ)sinh(λx1)
 
 
■ 結果
 定義
g:重力加速度(m/s2)
ρ:紐の密度(kg/m)
H:水平張力(N)
L:紐の長さ(m)
x1:原点から両端までの水平距離
y(x):懸垂線(カテナリー)
y'(x):懸垂線の傾き
 
 懸垂線f(x)
λ = ρg/H, H = T(x)cosθ(x) = const.
y(x) = (1/λ){cosh(λx) - 1}
y'(x) = sinh(λx)
L = (2/λ)sinh(λx1)
 

このブログの人気の投稿

NEWS

N88-BASICでゲーム (1回目)