懸垂線 (3回目)

2024/6/19(金)
懸垂線 (3回目)
 
(catenary)
懸垂線(カテナリー、紐を垂らしたときの曲線)
(紐の左端を原点とする)
 
■ 前提
▼ 定義
g:重力加速度(m/s²)
ρ:紐の密度(kg/m)
H:水平張力(N)
y(x):懸垂線(カテナリー)
y'(x):懸垂線の傾き
ds:x～x+dx間の紐の長さ
 
▼ 懸垂線f(x)
A, B:積分定数
λ = ρg/H, H = T(x)cosθ(x) = const.
y(x) = (1/λ)cosh(λx + A) + B
y'(x) = sinh(λx + A)
ds = cosh(λx + A)dx
 
 
■ 導出
▼ 定義
(x₁ ,y₁):紐の右端の座標
(x₀ ,y₀):紐の底の座標
 
▼ 積分定数の決定
cosh(t) = {exp(t) + exp(-t)}/2
sinh(t) = {exp(t) - exp(-t)}/2
 
y(x) = (1/λ)cosh(λx + A) + B
y'(x) = sinh(λx + A)
 
紐の底は水平なので
y'(x₀) = sinh(λx₀ + A) = 0
sinh(λx₀ + A) = 0
λx₀ + A = 0
A = -λx₀ 
 
y(x) = (1/λ)cosh(λx - λx₀) + B
 
y(x₁) = (1/λ)cosh(λx₁ - λx₀) + B = y₁ 
B = y₁ - (1/λ)cosh(λx₁ - λx₀)
 
y(x) = (1/λ){cosh(λx - λx₀) - cosh(λx₁ - λx₀)} + y₁ 
y'(x) = sinh(λx - λx₀)
 
y(0) = 0より
y(0) = (1/λ){cosh(λ･0 - λx₀) - cosh(λx₁ - λx₀)} + y₁ 
= (1/λ){cosh(-λx₀) - cosh(λx₁ - λx₀)} + y₁ = 0
cosh(λx₁ - λx₀) - cosh(-λx₀) = λy₁ 
cosh(λx₁ - λx₀) - cosh(λx₀) = λy₁ 
y₁ = (1/λ){cosh(λx₁-λx₀) - cosh(λx₀)}
 
ds = cosh(λx + A)dx = cosh(λx - λx₀)dx 
 
▼ 紐の長さ
ds = cosh(λx - λx₀)dx 
L = ∫₀^x1ds = ∫₀^x1cosh(λx - λx₀)dx
= (1/λ)[sinh(λx - λx₀)]₀^x1 
= (1/λ){sinh(λx₁ - λx₀) - sinh(-λx₀)}
= (1/λ){sinh(λx₁ - λx₀) + sinh(λx₀)}
 
 
■ 結果
▼ 定義
g:重力加速度(m/s²)
ρ:紐の密度(kg/m)
H:水平張力(N)
f(x):懸垂線(カテナリー)
f'(x):懸垂線の傾き
L:紐の長さ(m)
x₁:紐の右端のx座標
y₁:紐の右端のy座標
x₀:紐の底のx座標
 
▼ 懸垂線f(x)
λ = ρg/H, H = T(x)cosθ(x) = const.
y(x) = (1/λ){cosh(λx-λx₀) - cosh(λx₁-λx₀)} + y₁ 
 
▼ 関係式
y'(x) = sinh(λx-λx₀)
L = (1/λ){sinh(λx₁-λx₀) + sinh(λx₀)}
y₁ = (1/λ){cosh(λx₁-λx₀) - cosh(λx₀)}