懸垂線 (4回目)

2024/7/27(土)
懸垂線 (4回目)
 
(catenary)
懸垂線(カテナリー、紐を垂らしたときの曲線)
(紐の左端を原点とする)
(両端が同じ高さの場合のHを求める)
 
■ 前提
▼ 定義
g:重力加速度(m/s²)
ρ:紐の密度(kg/m)
H:水平張力(N)
y(x):懸垂線(カテナリー)
y'(x):懸垂線の傾き
L:紐の長さ(m)
x₁:紐の右端のx座標
y₁:紐の右端のy座標
x₀:紐の底のx座標
 
▼ 懸垂線f(x)
λ = ρg/H, H = T(x)cosθ(x) = const.
y(x) = (1/λ){cosh(λx-λx₀) - cosh(λx₁-λx₀)} + y₁ 
 
▼ 関係式
y'(x) = sinh(λx-λx₀)
L = (1/λ){sinh(λx₁-λx₀) + sinh(λx₀)}
y₁ = (1/λ){cosh(λx₁-λx₀) - cosh(λx₀)}
 
■ 導出
▼ 両端が同じ高さの場合の式
λ = ρg/H, H = T(x)cosθ(x) = const.
 
x₀ = x₁/2, y₁ = 0より
y(x) = (1/λ){cosh(λx-λx₁/2) - cosh(λx₁/2)}
y'(x) = sinh(λx-λx₁/2)
L = (2/λ)sinh(λx₁/2)
 
▼ Hについての式
L = (2/λ)sinh(λx₁/2)
= (2H/ρg)sinh(ρgx₁/(2H))
 
(2H/ρg)sinh(ρgx₁/(2H)) - L = 0
sinh(ρgx₁/(2H)) - Lρg/(2H) = 0
f(H) = sinh(ρgx₁/(2H)) - Lρg/(2H)
と置くと
f(H) = 0の解を求める事になるが
解析的に解けそうにないので
近似式を考える
 
▼ sinh(t)のマクローリン展開
y(x) = a₂x² + a₁x + a₀ , f(0) = a₀ 
y⁽¹⁾(x) = 2a₂x + a₁    , f⁽¹⁾(0) = a₁ 
y⁽²⁾(x) = 2･1a₂         , f⁽²⁾(0) = 2･1a₂ 
y(x) = f(0) + f⁽¹⁾(0)x + f⁽²⁾(0)x²/(2･1)
より
y(x) = Σ[n=0～∞]f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ/n!
 
sinh(0) = 0
cosh(0) = 1
sinh(x) = Σ[n=1,3,5,…]xⁿ/n!
= x + x³/3! + x⁵/5! + …
 
▼ Hの近似式
f(H) = sinh(ρgx₁/(2H)) - Lρg/(2H)
 
|ρgx₁/(2H)| << 1の時
sinh(ρgx₁/(2H)) - Lρg/(2H)
≒ ρgx₁/(2H) + {ρgx₁/(2H)}³/3! - Lρg/(2H)
= ρg(x₁ - L)/(2H) + (ρgx₁)³/(6･8H³)
= (ρgx₁)³/(6･8H³) - ρg(L - x₁)/(2H) = 0
 
(ρg)²x₁³ - (6･8H³)(L - x₁)/(2H) = 0
24(L - x₁)H² = (ρg)²x₁³ 
H ≒ √[(ρg)²x₁³/{24(L - x₁)}]
|ρgx₁/(2H)| >> 0の時つまり
|H| << 1の時は誤差が大きい
つまり、張りが弱い時なので
|x₁/L| << 1の時、誤差が大きくなる
 
H ≒ √[(ρg)²x₁³/{24(L - x₁)}] if |x₁/L| >> 0
H ≒ 0                        if |x₁/L| << 1
 
▼ ニュートン法
f(H) = sinh(ρgx₁/(2H)) - Lρg/(2H)
f'(H) = -{ρgx₁/(2H²)}cosh(ρgx₁/(2H)) + Lρg/(2H²)
= {ρg/(2H²)}{L - dcosh(ρgx₁/(2H))}
 
α = ρgd/(2H) と置く
f(H) = sinh(α) - αL/x₁ 
f'(H) = {α/(Hx₁)}{L - x₁cosh(α)}
 
f(0) = ∞ , f'(0) = ∞
f(∞) < 0  , f'(∞) = 0
 
H₀ = 適当に決めて
H_n ＞ 0
ΔH = f(H_n)/f'(H_n)
H_n+1 = H_n - ΔH
H = H_n+1 (if |ΔH| < ε)
 
 
■ 結果
▼ 定義(左端が原点)
g:重力加速度(m/s²)
ρ:紐の密度(kg/m)
H:水平張力(N)
y(x):懸垂線(カテナリー)
y'(x):懸垂線の傾き
L:紐の長さ(m)
x₁:紐の右端のx座標
 
▼ 懸垂線f(x)など
λ = ρg/H, H = T(x)cosθ(x) = const.
y(x) = (1/λ){cosh(λx-λx₁/2) - cosh(λx₁/2)}
y'(x) = sinh(λx-λx₁/2)
L = (2/λ)sinh(λx₁/2)
 
▼ Hの近似式
H ≒ √[(ρg)²x₁³/{24(L - x₁)}] if |x₁/L| >> 0
H ≒ 0                        if |x₁/L| << 1
 
▼ ニュートン法
α = ρgd/(2H) と置く
f(H) = sinh(α) - αL/x₁ 
f'(H) = {α/(Hx₁)}{L - x₁cosh(α)}
 
f(0) = ∞ , f'(0) = ∞
f(∞) < 0  , f'(∞) = 0
 
H₀ = 適当に決めて
H_n ＞ 0
ΔH = f(H_n)/f'(H_n)
H_n+1 = H_n - ΔH
H = H_n+1 (if |ΔH| < ε)