終端速度2 (1回目)

2024/9/14(土)
終端速度2 (1回目)
 
(Terminal velocity)
 
速度の2乗に比例する空気抵抗と重力のある垂直運動
(上向きを正としたa, v, yの導出)
 
■ 導出
▼ 定義
g:重力加速度(m/s²)
v₀:初速度(m/s)
v:速度(m/s)
k:空気抵抗の比例定数(N･s/m) … 1m/s毎の力(N)
m:質量(kg)
F:力(N)
a:加速度(m/s²)
y:位置(m)
y₀:初期位置(m)
v_∞:終端速度(m/s)
 
▼ 微分方程式
上向きを正とする
F = ma = -mg - kv²(v/|v|)
a = -g - (k/m)v²(v/|v|)
= (k/m){-mg/k - v²(v/|v|)}
j² = -v/|v|と置くと  …(速度の逆方向)
a = (k/m)(j²v² - mg/k)
 
▼ 終端速度
j² = -v/|v|  …(速度の逆方向)
a = (k/m)(j²v² - mg/k)
a = 0の時が終端速度v_∞ < 0なので
a = (k/m)(j²v_∞² - mg/k) = 0
j²v_∞² = mg/k
v_∞ = ±(1/j)√(mg/k)
v_∞ < 0 ⇒ j² = -v/|v| =  1 ⇒ v_∞ = -√(mg/k)
v_∞ > 0 ⇒ j² = -v/|v| = -1 ⇒ v_∞ = (1/i)√(mg/k)
よって
v_∞ = -(j²/j)√(mg/k) = -j√(mg/k)
w = -√(mg/k) = v_∞/j, λ = √(gk/m)と置くと
λ/w = -√(gk/m)/√(mg/k) = -k/m
 
a = (k/m)(j²v² - w²)
= -(λ/w)(j²v² - w²)
 
▼ 微分方程式を解くv(t)
j² = -v/|v|, v_∞ = -j√(mg/k)
λ = √(gk/m), w = v_∞/j, λ/w = -k/m
dv/dt = a = -(λ/w)(j²v² - w²) … ①
 
1/(jv - w) - 1/(jv + w)
= {(jv + w) - (jv - w)}/{(jv - w)(jv + w)}
= 2w/(j²v² - w²)
 
∫{1/(j²v² - w²)}dv = -(λ/w)∫dt
∫{2w/(j²v² - w²)}dv = -2(λ/w)∫dt
∫{1/(jv - w) - 1/(jv + w)}dv = -2λ∫dt
∫{j/(jv - w) - j/(jv + w)}dv = -2jλ∫dt
log|jv - w| - log|jv + w| = -2jλt + A  … A:積分定数
log|(jv - w)/(jv + w)| = -2jλt + A
|(jv - w)/(jv + w)| = exp(-2jλt + A)
= exp(A)exp(-2jλt)  … exp(A) = Bと置き直し
|(jv - w)/(jv + w)| = Bexp(-2jλt)
絶対値の正負をBに含めるとして
 
(w - jv)/(w + jv) = Bexp(-2jλt)
(w - jv) = (w + jv)Bexp(-2jλt)
w{1 - Bexp(-2jλt)} = jv{1 + Bexp(-2jλt)}
v(t) = w{1 - Bexp(-2jλt)}/[{1 + Bexp(-2jλt)}j]
v(0) = w(1 - B)/{(1 + B)j} = v₀ と置く
w(1 - B) = jv₀(1 + B)
w - wB = jv₀ + jv₀B
w - jv₀ = (w + jv₀)B
B = (w - jv₀)/(w + jv₀)
 
v(t) = w{1 - Bexp(-2jλt)}/[{1 + Bexp(-2jλt)}j]
= (w/j){1 - Bexp(-2jλt)}/{1 + Bexp(-2jλt)}
= (w/j)[1 - {(w - jv₀)/(w + jv₀)}exp(-2jλt)]
/[1 + {(w - jv₀)/(w + jv₀)}exp(-2jλt)]
= (w/j){(w + jv₀)exp(jλt) - (w - jv₀)exp(-jλt)}
/{(w + jv₀)exp(jλt) + (w-jv₀)exp(-jλt)}
= (w/j)[jv₀{exp(jλt)+exp(-jλt)} + w{exp(jλt)-exp(-jλt)}]
/[w{exp(jλt)+exp(-jλt)} + jv₀{exp(jλt)-exp(-jλt)}]
= (w/j)[jv₀{exp(jλt)+exp(-jλt)} + w{exp(jλt)-exp(-jλt)}]
/[w{exp(jλt)+exp(-jλt)} + jv₀{exp(jλt)-exp(-jλt)}]
 
sinh(t) = {exp(t)-exp(-t)}/2
cosh(t) = {exp(t)+exp(-t)}/2
 
v(t) = (w/j){jv₀cosh(jλt) + wsinh(jλt)}
/{wcosh(jλt) + jv₀sinh(jλt)}
 
▼ y(t)を求める
f(t) = jv₀cosh(jλt) + wsinh(jλt)
g(t) = wcosh(jλt) + jv₀sinh(jλt)
 
g'(t) = jλ{wsinh(jλt) + jv₀cosh(jλt)}
より
f(t) = g(t)/(jλ)
 
y(t) = ∫v(t)dt
= (w/j)∫[{jv₀cosh(jλt) + wsinh(jλt)}
/{wcosh(jλt) + jv₀sinh(jλt)}]dt
= {w/(j²λ)}∫{g'(t)/g(t)}dt
= {w/(j²λ)}log|g(t)| + C
 
g(0) = w
y(0) = {w/(j²λ)}w + C = y₀ と置くと
C = y₀ - w²/(j²λ)
 
y(t) = {w/(j²λ)}log|g(t)| + y₀ - w²/(j²λ)
= y₀ + {w/(j²λ)}(log|g(t)|  - w)
= y₀ + {w/(j²λ)}log|g(t)/w|
= y₀ + {w/(j²λ)}log|cosh(jλt) + (jv₀/w)sinh(jλt)|
 
y(t) = y₀ + {w/(j²λ)}log|cosh(jλt) + (jv₀/w)sinh(jλt)|
 
 
■ 式変形
▼ 定義
j² = -v/|v|, v_∞ = -j√(mg/k)
λ = √(gk/m), w = v_∞/j, λ/w = -k/m
 
tanh(t) = sinh(t) / cosh(t)
 
▼ 速度
v(t) = (w/j){jv₀cosh(jλt) + wsinh(jλt)}
/{wcosh(jλt) + jv₀sinh(jλt)}
= (w/j){jv₀ + wtanh(jλt)}/{w + jv₀tanh(jλt)}
= w{v₀ + (w/j)tanh(jλt)}/{w + jv₀tanh(jλt)}
 
v(t) = w{v₀ + (w/j)tanh(jλt)}/{w + jv₀tanh(jλt)}
 
 
■ 結果
▼ 定義
g:重力加速度(m/s²)
v₀:初速度(m/s)
v:速度(m/s)
k:空気抵抗の比例定数(N･s/m) … 1m/s毎の力(N)
m:質量(kg)
F:力(N)
a:加速度(m/s²)
y:位置(m)
y₀:初期位置(m)
v_∞:終端速度(m/s)
 
j² = -v/|v|, v_∞ = -j√(mg/k)
λ = √(gk/m), w = v_∞/j, λ/w = -k/m
 
▼ 速度
v(t) = w{v₀ + (w/j)tanh(jλt)}/{w + jv₀tanh(jλt)}
 
▼ 位置
y(t) = y₀ + {w/(j²λ)}log|cosh(jλt) + (jv₀/w)sinh(jλt)|
 
▼ 加速度
a(t) = -(λ/w)(j²{v(t)}² - w²)