終端速度2 (2回目)

2024/9/18(水)
終端速度2 (2回目)
 
(Terminal velocity)
 
速度の2乗に比例する空気抵抗と重力のある垂直運動
(上向きを正としv≧0,v≦0に場合分けしたa, v, y)
 
■ 前提
▼ 定義
g:重力加速度(m/s²)
v₀:初速度(m/s)
v:速度(m/s)
k:空気抵抗の比例定数(N･s/m) … 1m/s毎の力(N)
m:質量(kg)
F:力(N)
a:加速度(m/s²)
y:位置(m)
y₀:初期位置(m)
v_∞:終端速度(m/s)
 
j² = -v/|v|, v_∞ = -j√(mg/k)
λ = √(gk/m), w = v_∞/j, λ/w = -k/m
 
▼ 速度
v(t) = w{v₀ + (w/j)tanh(jλt)}/{w + jv₀tanh(jλt)}
 
▼ 位置
y(t) = y₀ + {w/(j²λ)}log|1 + (jv₀/w)tanh(jλt)|
 
▼ 加速度
a(t) = wλ[1 - (j/w)²{v(t)}²]
 
 
■ 導出
▼ 定義
t₁:最高地点までの時間(s)
 
▼ 公式
sinh(t) = {exp(t)-exp(-t)}/2
cosh(t) = {exp(t)+exp(-t)}/2
tanh(t) = sinh(t) / cosh(t)
 
sin(t) = {exp(it)-exp(-it)}/(2i)
cos(t) = {exp(it)+exp(-it)}/2
tan(t) = sin(t) / cos(t)
 
exp(it) = cos(t)+isin(t)
exp(-it) = cos(t)-isin(t)
 
sinh(it)/i = sin(t)
cosh(it) = cos(t)
tanh(it)/i = tan(t)
tanh(it) = itan(t)
itanh(it) = -tan(t)
 
▼ 速度(v≧0)
j² = -v/|v| = -1, j = i
v_∞ = -j√(mg/k) = -i√(mg/k)
λ = √(gk/m)
w = v_∞/j = -i√(mg/k)/i = -√(mg/k)
 
tanh(it)/i = tan(t)
itanh(it) = -tan(t)
 
v(t) = w{v₀ + (w/j)tanh(jλt)}/{w + jv₀tanh(jλt)}
= w{v₀ + (w/i)tanh(jλt)}/{w + iv₀tanh(jλt)}
= w{v₀ + wtan(λt)}/{w - v₀tan(λt)}
 
λ = √(gk/m), w = -√(mg/k)
v(t) = w{v₀ + wtan(λt)}/{w - v₀tan(λt)}
 
▼ 最高地点までの時間(t₁)
速度が0になる時刻(t₁)
v(t₁) = w{v₀ + wtan(λt₁)}/{w - v₀tan(λt₁)} = 0
v₀ + wtan(λt₁) = 0
tan(λt₁) = -v₀/w
t₁ = (1/λ)Tan^-1(-v₀/w)
 
▼ 速度(v≦0)
j² = -v/|v| = 1, j = 1
v_∞ = -j√(mg/k) = -√(mg/k)
λ = √(gk/m)
w = v_∞/j = -√(mg/k) = v_∞ 
 
v(t) = w{v₀ + (w/j)tanh(jλt)}/{w + jv₀tanh(jλt)}
= v_∞{v₀ + v_∞tanh(λt)}/{v_∞ + v₀tanh(λt)}
 
λ = √(gk/m), v_∞ = -√(mg/k)
v(t) = v_∞{v₀ + v_∞tanh(λt)}/{v_∞ + v₀tanh(λt)}
 
▼ 位置(v≧0)
j² = -v/|v| = -1, j = i
v_∞ = -j√(mg/k) = -i√(mg/k)
λ = √(gk/m)
w = v_∞/j = -i√(mg/k)/i = -√(mg/k)
 
i²sinh(it)/i = i²sin(t)
isinh(it) = -sin(t)
cosh(it) = cos(t)
 
y(t) = y₀ + {w/(j²λ)}log|cosh(jλt) + (jv₀/w)sinh(jλt)|
= y₀ - (w/λ)log|cosh(iλt) + (iv₀/w)sinh(iλt)|
= y₀ - (w/λ)log|cos(λt) - (v₀/w)sin(λt)|
 
▼ 位置(v≦0)
j² = -v/|v| = 1, j = 1
v_∞ = -j√(mg/k) = -√(mg/k)
λ = √(gk/m)
w = v_∞/j = v_∞ = -√(mg/k)
 
y(t) = y₀ + (w/λ)log|cosh(λt) + (v₀/w)sinh(λt)|
= y₀ + (v_∞/λ)log|cosh(λt) + (v₀/v_∞)sinh(λt)|
 
▼ 加速度(v≧0)
j² = -v/|v| = -1, j = i
v_∞ = -j√(mg/k) = -i√(mg/k)
λ = √(gk/m)
w = v_∞/j = -i√(mg/k)/i = -√(mg/k)
 
v(t) = w{v₀ + wtan(λt)}/{w - v₀tan(λt)}
a(t) = -(λ/w)(j²{v(t)}² - w²)
= (λ/w)(w² + {v(t)}²)
 
▼ 加速度(v≦0)
j² = -v/|v| = 1, j = 1
v_∞ = -j√(mg/k) = -√(mg/k)
λ = √(gk/m)
w = v_∞/j = v_∞ = -√(mg/k)
 
v(t) = v_∞{v₀ + v_∞tanh(λt)}/{v_∞ + v₀tanh(λt)}
a(t) = -(λ/w)(j²{v(t)}² - w²)
= (λ/w)(w² - {v(t)}²)
 
■ 結果
▼ 定義
g:重力加速度(m/s²)
v₀:初速度(m/s)
v:速度(m/s)
k:空気抵抗の比例定数(N･s/m) … 1m/s毎の力(N)
m:質量(kg)
F:力(N)
a:加速度(m/s²)
y:位置(m)
y₀:初期位置(m)
v_∞:終端速度(m/s)
 
▼ 定義
λ = √(gk/m), v_∞ = -√(mg/k)
 
▼ 最高地点までの時間
t₁ = (1/λ)Tan^-1(-v₀/v_∞)
 
▼ 速度
v(t) = v_∞{v₀ + v_∞tan (λt)}/{v_∞ - v₀tan (λt)} (v≧0)
v(t) = v_∞{v₀ + v_∞tanh(λt)}/{v_∞ + v₀tanh(λt)} (v≦0)
 
▼ 位置
y(t) = y₀ - (v_∞/λ)log|cos (λt) - (v₀/v_∞)sin (λt)| (v≧0)
y(t) = y₀ + (v_∞/λ)log|cosh(λt) + (v₀/v_∞)sinh(λt)| (v≦0)
 
▼ 加速度
a(t) = (λ/v_∞)(v_∞² + {v(t)}²) (v≧0)
a(t) = (λ/v_∞)(v_∞² - {v(t)}²) (v≦0)