終端速度2 (3回目)

2024/9/22(日)
終端速度2 (3回目)
 
(Terminal velocity)
 
速度の2乗に比例する空気抵抗のある投げ上げ
(上向きを正とする)
 
■ 前提
▼ 定義
g:重力加速度(m/s²)
v₀:初速度(m/s)
v:速度(m/s)
k:空気抵抗の比例定数(N･s/m) … 1m/s毎の力(N)
m:質量(kg)
F:力(N)
a:加速度(m/s²)
y:位置(m)
y₀:初期位置(m)
v_∞:終端速度(m/s)
 
▼ 定義
λ = √(gk/m), v_∞ = -√(mg/k)
 
▼ 最高地点までの時間
t₁ = (1/λ)Tan^-1(-v₀/v_∞)
 
▼ 速度
v(t) = v_∞{v₀ + v_∞tan (λt)}/{v_∞ - v₀tan (λt)} (v≧0)
v(t) = v_∞{v₀ + v_∞tanh(λt)}/{v_∞ + v₀tanh(λt)} (v≦0)
 
▼ 位置
y(t) = y₀ - (v_∞/λ)log|cos (λt) - (v₀/v_∞)sin (λt)| (v≧0)
y(t) = y₀ + (v_∞/λ)log|cosh(λt) + (v₀/v_∞)sinh(λt)| (v≦0)
 
▼ 加速度
a(t) = (λ/v_∞)(v_∞² + {v(t)}²) (v≧0)
a(t) = (λ/v_∞)(v_∞² - {v(t)}²) (v≦0)
 
 
■ 導出
▼ 上昇(最高地点まで)
λ = √(gk/m), v_∞ = -√(mg/k)
t₁ = (1/λ)Tan^-1(-v₀/v_∞)  … 最高地点までの時間(s)
 
0 ≦ t ≦ t₁ 
v(t) = v_∞{v₀ + v_∞tan (λt)}/{v_∞ - v₀tan (λt)} (v≧0)
y(t) = y₀ - (v_∞/λ)log|cos (λt) - (v₀/v_∞)sin (λt)| (v≧0)
a(t) = (λ/v_∞)(v_∞² + {v(t)}²) (v≧0)
y₁ = y(t₁)  … 最高地点(m)
 
▼ 降下(最高地点から)
λ = √(gk/m), v_∞ = -√(mg/k)
t₁ = (1/λ)Tan^-1(-v₀/v_∞)  … 最高地点までの時間(s)
 
最高地点からの降下なので
初速度v₀ = 0, 初期位置y₀ = y₁ 
最高地点からの経過時間t' = t - t₁ 
として
 
t₁ ≦ t ≦ ∞
0 ≦ t' ≦ ∞
 
v(t') = v_∞{v₀ + v_∞tanh(λt')}/{v_∞ + v₀tanh(λt')}
= v_∞{v_∞tanh(λt')}/v_∞ 
= v_∞tanh(λt')  (v'≦0)
 
y(t') = y₀ + (v_∞/λ)log|cosh(λt') + (v₀/v_∞)sinh(λt')|
= y₁ + (v_∞/λ)log|cosh(λt')| (v≦0)
 
a(t') = (λ/v_∞)(v_∞² - {v(t')}²) (v≦0)
 
 
■ 結果
▼ 定義
g:重力加速度(m/s²)
v₀:初速度(m/s)
v:速度(m/s)
k:空気抵抗の比例定数(N･s/m) … 1m/s毎の力(N)
m:質量(kg)
a:加速度(m/s²)
y:位置(m)
y₀:初期位置(m)
v_∞:終端速度(m/s)
t₁:最高地点までの時間(s)
y₁:最高地点(m)
 
▼ 定義
λ = √(gk/m), v_∞ = -√(mg/k)
t₁ = (1/λ)Tan^-1(-v₀/v_∞)
 
▼ 上昇中(t = 0 ～ t₁)
v(t) = v_∞{v₀ + v_∞tan (λt)}/{v_∞ - v₀tan (λt)} (t=0～t₁)
y(t) = y₀ - (v_∞/λ)log|cos (λt) - (v₀/v_∞)sin (λt)| (t=0～t₁)
a(t) = (λ/v_∞)(v_∞² + {v(t)}²)
y₁ = y(t₁)
 
▼ 下降中(t'= t - t₁, t = t₁ ～ ∞)
v(t') = v_∞tanh(λt')
y(t') = y₁ + (v_∞/λ)log|cosh(λt')|
a(t') = (λ/v_∞)(v_∞² - {v(t')}²)