天体の軌道(Kepler) (9回目)

2024/10/24(木)
天体の軌道(Kepler) (9回目)

 
(Kepler)
■ 結果
▼ 動径
半直弦L = a|1 - e²| = q(1 + e)
真近点角f   … (r=L/(1+ecosf)で楕円を表すときの角)
離心近点角u … (x=acosu,y=bsinuで楕円を表すときの角)
平均近点角M … (時間経過を表す角)
動径　　r = L / (1 + e cosf)
 
▼ 軌道(u⇒fとケプラー方程式)
楕円軌道
tan(f/2) = √{(1+e)/(1-e)}tan(u/2)
M = u - esinu
 
双曲線軌道
tan(f/2) = √{(e+1)/(e-1)}tanh(u/2)
M = esinh(u) - u
 
放物線軌道
tan(f/2) = u/√(2q) = θ
M' = M/q^3/2 = (θ³/3 + θ)√2
 
▼ 平均運動n
n = 2π/Pで求めます
周期Pが分からない天体は
地球の軌道長半径a=1AU,周期P=1年より
M = nt(t=1年で1周なのでM = 2π)
2π = n = √(μ/a³) = √(μ)
√(μ) = 2πとして下記式でnを求めます
n = √(μ/a³)   = 2π/a^3/2   (if e < 1)(楕)円 (M = nt)
n = √(μ/q³)   = 2π/q^3/2   (if e = 1)放物線 (M'= nt)
n = √(μ/|a|³) = 2π/|a|^3/2 (if e > 1)双曲線 (M = nt)
a,q(AU), t(年)とする
 
▼ 余談
365.25636 日/恒星年
365.24219 日/太陽年
 
万有引力定数
G ≒ 6.67430×10^-11 m³/kg･s² × (86400s/日)² / (149597870700 m/au)³ 
≒ 1.488185×10^-34 au³/kg･日² 
 
焦点質量(太陽)M ≒ 1.9884×10³⁰ kg
 
重力定数μ = GM
≒ 2.959107×10^-4 AU³/日² 
 
√μ = 2π au^3/2/年 ≒ 1.720206×10^-2 au^3/2/日
より
2π / 1.720206×10^-2 ≒ 365.2577日/年
 
 
■ 前提
▼ 定義
双曲線軌道(e＞1)
近点距離q = a|e - 1| = |c - a|
焦点距離c = a + q = ae (c > a)
a = q / |e - 1| = c - q (a < c)
b = √|c² - a²| = a√|e² - 1|
半直弦L = a|e² - 1| = q(1 + e)
 
楕円軌道(0≦e＜1)
近点距離q = a|1 - e| = |a - c|
焦点距離c = a - q = ae (c < a)
長半径a = q / |1 - e| = q + c (a > q)
短半径b = √|a² - c²| = a√|1 - e²|
半直弦L = a|1 - e²| = q(1 + e)
 
離心率  e = c / a = c / (q + c)
真近点角f   … (r=L/(1+ecosf)で楕円を表すときの角です)
離心近点角u … (x=acosu,y=bsinuで楕円を表すときの角です)
平均近点角M … (時間経過を表す角です)
動径　　r = L / (1 + e cosf)
 
楕円軌道(u⇒fとケプラー方程式)
tan(f/2) = √{(1+e)/(1-e)}tan(u/2)
M = u - esinu
 
双曲線軌道(u⇒fとケプラー方程式)
tan(f/2) = √{(e+1)/(e-1)}tanh(u/2)
M = esinh(u) - u
 
放物線軌道(u⇒fとケプラー方程式)
tan(f/2) = u/√(2q)
M = u³/6 + qu
 
平均運動nは
n = 2π/Pで求めます
周期Pが分からない天体は
地球の軌道長半径a=1AU,周期P=1年より
M = nt(t=1年で1周なのでM = 2π)
2π = n = √(μ/a³) = √(μ)
√(μ) = 2πとして下記式でnを求めます
n = √(μ/a³)   (if e < 1)(楕)円
n = √(μ)      (if e = 1)放物線
n = √(μ/|a|³) (if e > 1)双曲線
 
 
■ 導出
▼ 放物線軌道の整理
放物線軌道(u⇒fとケプラー方程式)
tan(f/2) = u/√(2q)
M = u³/6 + qu
ここで
tan(f/2) = u/√(2q) = θと置くと
u = θ√(2q)を代入
M = {θ√(2q)}³/6 + qθ√(2q)
= θ³2q√(2q)/6 + θq√(2q)
= θ³q^3/2(√2)/3 + θq^3/2√2
M/q^3/2 = (θ³/3 + θ)√2
 
M = nt … n = √(μ)
M/q^3/2 = nt … n = √(μ/q³)