特殊相対性理論 (2回目)

2024/11/16(土)
特殊相対性理論 (2回目)
 
(special relativity)
 
1. ローレンツ変換
τ²  = (ct)² - x²  ⇒  x² = (ct)²  … (τ = 0とする)
x² + y² + z² = (ct)²  … (3次元では光が球面状に広がる様子を表す)
 
座標変換
x' = Ax + Bt
t' = Cx + Dt
 
t = 0, x = 0の時、x' = 0とすると
t秒後x'座標系はvt移動しているので
x座標系でx = vtの位置はx'座標系ではx' = 0となるはずなので
x' = Ax + Bt = Avt + Bt = 0  ⇒ B = -Avより
 
x' = A(x - vt)  … (xとx'は同じ方向に移動するのでA ≧ 0)
t' = Cx + Dt    … (tとt'も同符号のはずなのでD ≧ 0)
 
を
x'² = (ct')² 
に代入して
A²(x - vt)² = c²(Cx + Dt)² 
A²x² - 2A²vtx + A²v²t² = c²C²x² + 2c²CDxt + c²D²t² 
(A² - c²C²)x² - 2(A²v + c²CD)xt = (c²D² - A²v²)t² 
と
x² = (ct)² 
を比較して
 
A² - c²C² = 1
A²v + c²CD = 0  … (A,D≧0よりvとCは異符号)
c²D² - A²v² = c² 
を解く
 
 
 
 
 
 
 
D = √{1 + A²(v²/c²)}
C = -A²v/(c²D)= -A²v/[c²√{1 + A²(v²/c²)}]
A² = 1 + c²C² = 1 + c²A⁴v²/[c⁴{1 + A²(v²/c²)}] = 1 + A⁴v²/(c² + A²v²)
(c² + A²v²)A² = c² + A²v² + A⁴v² 
A²c² = c² + A²v² 
(c² - v²)A² = c² 
A = 1/√{1 - (v²/c²)}
 
D = √{1 + A²(v²/c²)} = √[1 + (v²/c²)/{1 - (v²/c²)}]
= √[{1 - (v²/c²) + (v²/c²)}/{1 - (v²/c²)}]
= 1/√{1 - (v²/c²)}
 
C² = (1 + A²)/c² = {1 - (v²/c²) + 1}/[c²{1 - (v²/c²)}]
= (v²/c⁴)/{1 - (v²/c²)}
C = -(v/c²)/√{1 - (v²/c²)}  … (vとCは異符号より)
 
x' = (x - vt)/√{1 - (v²/c²)}
t' = {-(v/c²)x + t}/√{1 - (v²/c²)}
 
t,t'をct ct,ct'で書き直す
x'  = (x - (v/c)ct)/√{1 - (v²/c²)}
ct' = {-(v/c)x + ct}/√{1 - (v²/c²)}
 
 
ローレンツ変換
γ = 1/√{1 - (v²/c²)}  … (ローレンツ係数)
x' = γ(x - vt)
t' = γ{-(v/c²)x + t}
|x'| = γ| 1      -v||x|
|t'|     |-(v/c²)  1||t|
 
μ = v/c
x' = γ(x - μct)
ct'= γ(-μx + ct)
| x'| = γ| 1  -μ|| x|
|ct'|     |-μ  1 ||ct|
 
 
2. 合成速度
(v << c)の時
A:v =  v_A  … (Cから見たAの速度)
B:v = -v_B  … (Cから見たBの速度)
Bから見たAの速度v_BA = v_A - (-v_B) = v_A + v_B 
 
(v ≦ c)の時
γ = 1/√{1 - (v²/c²)} … (ローレンツ係数)
x' = γ(x - vt)
t' = γ{-(v/c²)x + t}
 
Bの視点(x',t'はBの視点)に立てばBは(v = -v_B)を代入して
x' = γ(x + v_Bt)
t' = γ{(v_B/c²)x + t}  … (v_B, x, tはCの視点)
 
Aは(x = v_At)で移動しているのでBの視点に立てば
x' = γ(v_At + v_Bt)
t' = γ{(v_B/c²)v_At + t} … (v_A, v_B, tはCの視点)
 
Bの視点に立てばAの速度v'は
v' = v_BA = x'/ t'
= γ(v_At + v_Bt) / γ{(v_B/c²)v_At + t}
= (v_A + v_B) / (1 + v_Av_B/c²)
 
合成速度
v' = (v_A + v_B) / (1 + v_Av_B/c²)
 
 
3. 合成速度の別解
μ = v/c
x' = γ(x - μct)
ct'= γ(-μx + ct)
| x'| = γ| 1  -μ|| x|
|ct'|     |-μ  1 ||ct|
| x"| = γ'γ| 1  -μ'|| 1  -μ|| x|
|ct"|        |-μ'  1 ||-μ  1 ||ct|
= γ'γ|1+μ'μ  -μ'-μ|| x|
       |-μ'-μ  1+μ'μ||ct|
より
x"  = γ'γ{(1+μ'μ)x -  (μ'+μ)ct}
ct" = γ'γ{-(μ'+μ)x + (1+μ'μ)ct}
と
x = 0  … (静止しているため)
より
v" = x"/t" = cγ'γ{(1+μ'μ)x -  (μ'+μ)ct}
      / [γ'γ{-(μ'+μ)x + (1+μ'μ)ct}]
= c(μ'+μ)ct / (1+μ'μ)ct
= c(μ'+μ) / (1+μ'μ)
v" = (v' + v) / (1 + v'v/c²)