四平方の定理 (1回目)
2025/3/28(金)
四平方の定理 (1回目)
(De Gua's theorem)
■ 四平方の定理(デカルト・グアの定理、ド・グアの定理)
A2 + B2 + C2 = D2
四平方の定理 (1回目)
(De Gua's theorem)
■ 四平方の定理(デカルト・グアの定理、ド・グアの定理)
A2 + B2 + C2 = D2
A = ab/2 … △abdの面積
B = bc/2 … △bceの面積
C = ca/2 … △cafの面積
D … △defの面積
とする
■ 四平方の定理の導出
d2 = a2 + b2
e2 = b2 + c2
f2 = c2 + a2
θ=∠de … 二辺間の角度とする
余弦定理より
f2 = d2 + e2 - 2decosθ
cosθ = (d2 + e2 - f2)/(2de)
sinθ = √{1 - (d2 + e2 - f2)2/(2de)2}
= √{(2de)2 - (d2 + e2 - f2)2}/(2de)
D = (1/2)desinθ
= (1/2)de√{(2de)2 - (d2 + e2 - f2)2}/(2de)
= √{(2de)2 - (d2 + e2 - f2)2}/4
d2 + e2 - f2 = a2 + b2 + b2 + c2 - c2 - a2 = 2b2
d2e2 = (a2 + b2)(b2 + c2) = a2b2 + b4 + a2c2 + b2c2
(4D)2 = 4a2b2 + 4b4 + 4a2c2 + 4b2c2 - 4b4
4D2 = a2b2 + a2c2 + b2c2
D2 = (ab/2)2 + (ac/2)2 + (bc/2)2 = A2 + C2 + B2
A2 + B2 + C2 = D2
B = bc/2 … △bceの面積
C = ca/2 … △cafの面積
D … △defの面積
とする
■ 四平方の定理の導出
d2 = a2 + b2
e2 = b2 + c2
f2 = c2 + a2
θ=∠de … 二辺間の角度とする
余弦定理より
f2 = d2 + e2 - 2decosθ
cosθ = (d2 + e2 - f2)/(2de)
sinθ = √{1 - (d2 + e2 - f2)2/(2de)2}
= √{(2de)2 - (d2 + e2 - f2)2}/(2de)
D = (1/2)desinθ
= (1/2)de√{(2de)2 - (d2 + e2 - f2)2}/(2de)
= √{(2de)2 - (d2 + e2 - f2)2}/4
d2 + e2 - f2 = a2 + b2 + b2 + c2 - c2 - a2 = 2b2
d2e2 = (a2 + b2)(b2 + c2) = a2b2 + b4 + a2c2 + b2c2
(4D)2 = 4a2b2 + 4b4 + 4a2c2 + 4b2c2 - 4b4
4D2 = a2b2 + a2c2 + b2c2
D2 = (ab/2)2 + (ac/2)2 + (bc/2)2 = A2 + C2 + B2
A2 + B2 + C2 = D2
