四平方の定理 (2回目)

2025/3/31(月)
四平方の定理 (2回目)
 
(De Gua's theorem)
 
■ 任意の形の四平方の定理(デカルト・グアの定理、ド・グアの定理)
A² + B² + C² = D² 
この式は任意の形のDをA,B,C面に投影しても成り立つ
 

図の三角錐の面の直角三角形の面積をそれぞれA,B,C、
手前の面の三角形の面積をDとする
(x, y, zは座標軸とする)
 
■ 任意の形の四平方の定理の導出
A,B,C,Dの法線ベクトル(単位ベクトル)をそれぞれ
a,b,c,dとするとa,b,cは
a = (1, 0, 0), b = (0, 1, 0), c = (0, 0, 1)
となりdは
d = (x, y, z)  … (x² + y² + x² = d･d = |d|² = 1)
と置く
 
x軸の真上からDを見てAの面に投影すると
直角三角形Aに見えるので
A = D(a･d)となる … (a･dは内積でa//dなら1, a⊥dなら0)
B,Cも同様にy軸,z軸の真上から見てDを投影すると
B = D(b･d)
C = D(c･d)
(a･d) = (1, 0, 0)･(x, y, z) = 1･x + 0･y + 0･z = x
(b･d) = (0, 1, 0)･(x, y, z) = 0･x + 1･y + 0･z = y
(c･d) = (0, 0, 1)･(x, y, z) = 0･x + 0･y + 1･z = z
より
A = Dx, B = Dy, C = Dx
A² + B² + C² 
= D²x² + D²y² + D²x² = D²(x² + y² + x²)
= D²  … (上記よりx² + y² + x² = 1)
 
A² + B² + C² = D² 
この式は任意の形のDをA,B,C面に投影しても成り立つ