フーリエ変換 (6回目)

2025/3/14(金)
フーリエ変換 (6回目)
 
(fourier transform)
 
■ 離散フーリエ変換(DFT)(Discrete Fourier Transform)
▼ 結果
T:サンプル計測時間
N:サンプル総数
t_k:サンプルの計測時刻(k = 0, 1, 2, …, N-1), t_k = k(T/N)
y_k:各サンプルの計測値(k = 0, 1, 2, …, N-1)
 
周波数f_n = n/T (n = 1, …, N)
 
y(t_k) = 2Σ_n=0^N{A(f_n)exp(i2πf_nt_k)}
A(f_n) = (2/N)Σ_k=0^N-1{y_kexp(-i2πf_nt_k)}
 
A = |A(f_n)|  … |exp(-ix)| =  √{cos²x + sin²x)}
 
▼ 式
フーリエ変換(FT)
y:変位, t:時間, A:振幅, f:周波数
y(t) = ∫_-∞^∞{A(f)e^i2πft }df
A(f) = ∫_-∞^∞{y(t)e^-i2πft}dt
 
T:サンプル計測時間
N:サンプル総数
t_k:各サンプルの計測時刻(k = 0, 1, 2, …, N-1)
y_k:各サンプルの計測値　(k = 0, 1, 2, …, N-1)
 
y(t_k) = y_k , Δt = T/N , t_k = kΔt = k(T/N)
 
Δf = 1/T
周波数f_n = nΔf = n/T (n = 1, …, N)
 
A(f) = ∫_-∞^∞{y(t)e^-i2πft}dt
= 2∫₀^∞{y(t)e^-i2πft}dt + 2･0  … y(t)偶関数+奇関数
A(f_n) = 2Σ_k=0^N-1{y_kexp(-i2πf_nt_k)}Δt
= (2T/N)Σ_k=0^N-1{y_kexp(-i2πf_nt_k)}
 
同様に
y(t) = ∫_-∞^∞{A(f)e^i2πft }df
y(t_k) = (2/T)Σ_n=0^N{A(f_n)exp(i2πf_nt_k)}
 
▼ 調整
y(t_k) = (2/T)Σ_n=0^N{A(f_n)exp(i2πf_nt_k)}
A(f_n) = (2T/N)Σ_k=0^N-1{y_kexp(-i2πf_nt_k)}
a = 2/T, b = 2T/Nと置くと, ab = const.より
a = 2, b = 2/Nと置き直して
y(t_k) = 2Σ_n=0^N{A(f_n)exp(i2πf_nt_k)}
A(f_n) = (2/N)Σ_k=0^N-1{y_kexp(-i2πf_nt_k)}
 
A = |A(f_n)|
|exp(-ix)| = √{cos²x - (isinx)²} = √{cos²x + sin²x)}