波の合成 (1回目)

2025/4/8(火)
波の合成 (1回目)
 
(wave)
 
■ 2波の合成
▼ 振幅が同じ場合
   sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ
-) sin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ
   sin(α+β) + sin(α-β) = 2sinαcosβ
  Asin(α+β) + Asin(α-β) = 2Asinαcosβ … ①
a = α+β , b = α-β と置くと
α = (a+b)/2 , β = (a-b)/2 を①式に代入
Asina + Asinb = 2Acos((a-b)/2)sin((a+b)/2)
包絡線2Acos((a-b)/2)
 
▼ 振動数が同じ場合
底辺X、高さY、斜辺R、角θ(XR間)の直角三角形
θ = Tan^-1(Y/X) , R = √(X²+Y²) , X = Rcosθ , Y = Rsinθ 
Rcosθsina + Rsinθcosa = Rsin(a+θ) 加法定理
に代入
Xsina + Ycosa = Rsin(a+θ)
Xsina + Ycosa = √(X²+Y²)sin{a + Tan^-1(Y/X)}
 
▼ 振幅も振動数も異なる場合を含む
Asin(α+β) = Asinαcosβ+Acosαsinβ 加法定理
Bsin(α-β) = Bsinαcosβ-Bcosαsinβ 加法定理
を加えて
X=(A+B)cosβ、Y=(A-B)sinβと置くと
Asin(α+β) + Bsin(α-β) = (A+B)sinαcosβ+(A-B)cosαsinβ
= Xsinα + Ycosα = √(X²+Y²)sin{α + Tan^-1(Y/X)}
X²+Y² = (A+B)²cos²β+(A-B)²sin²β
= (A²+B²+2AB)cos²β+(A²+B²-2AB)sin²β
= A²+B² + 2ABcos²β - 2ABsin²β
= A²+B² + 2ABcos²β - 2AB(1-cos²β)
= (A-B)² + 2²ABcos²β
と
Y/X = (A-B)sinβ / {(A+B)cosβ} = {(A-B)/(A+B)}tanβ
と
a = α+β, b = α-βと置いて
{α = (a+b)/2 , β = (a-b)/2 }
 
Asin(α+β) + Bsin(α-β) = √(X²+Y²)sin(α + Tan^-1(Y/X))
に代入すると
Asina + Bsinb
= √{(A-B)² + 2²ABcos²β}sin(α + Tan^-1[{(A-B)/(A+B)}tanβ])
式が長いので文字に置き換えて
Asina + Bsinb = √{(A-B)² + 2²ABcos²β}sin(α + Tan^-1C)
α=(a+b)/2 , β=(a-b)/2
C = {(A-B)/(A+B)}tanβ = {(A-B)sinβ}/{(A+B)cosβ}
 
■ 結果
▼ 2波の合成式
y₁ = Asina, a = 2πf₁(x/v₁ - t)
y₂ = Bsinb, b = 2πf₂(x/v₂ - t)
α= (a+b)/2 , β= (a-b)/2 , C = {(A-B)sinβ}/{(A+B)cosβ}
D = √{(A-B)² + 2²ABcos²β}  … 包絡線(envelope)
y₁ + y₂ = Asina + Bsinb = Dsin(α + Tan^-1C)