波の合成 (3回目)

2025/4/20(日)
波の合成 (3回目)
 
定常波 (standing wave)
 
■ 進行方向が逆の2波の合成
▼ 2波の合成式
y₁ = Asina, a = 2πf₁(x/v₁ - t)
y₂ = Bsinb, b = 2πf₂(x/v₂ - t)
α= (a+b)/2 , β= (a-b)/2 , C = {(A-B)sinβ}/{(A+B)cosβ}
D = √{(A-B)² + 2²ABcos²β}  … 包絡線(envelope)
y₁ + y₂ = Asina + Bsinb = Dsin(α + Tan^-1C)
▼ 2波の定義
v₁ = v, v₂ = -vと置いて
a = 2πf₁( x/v - t)
b = 2πf₂(-x/v - t)  … 逆進行(同位相)
とすると
 
α= (a+b)/2 = π{(f₁ - f₂)x/v - (f₁ + f₂)t}
β= (a-b)/2 = π{(f₁ + f₂)x/v - (f₁ - f₂)t}
 
▼ 振動数が同じ場合
α= (a+b)/2 = -2πft
β= (a-b)/2 = 2πfx/v
 
▼ 定常波(振幅も同じ場合)
C = (A-A)sinβ/{(A+A)cosβ} = 0
D = √{(A-A)² + 2²AAcos²β} = 2Acosβ
Asina + Asinb = Dsin{α + Tan^-1C}
= 2Acosβsinα
α= (a+b)/2 = -2πft
β= (a-b)/2 =  2πfx/v
 
 
■ 結果
▼ 2波の定義
y₁ = Asina, a = 2πf₁( x/v - t)
y₂ = Bsinb, b = 2πf₂(-x/v - t)
 
▼ 2波の合成
α= (a+b)/2 = π{(f₁ - f₂)x/v - (f₁ + f₂)t}
β= (a-b)/2 = π{(f₁ + f₂)x/v - (f₁ - f₂)t}
C = {(A-B)sinβ}/{(A+B)cosβ}
D = √{(A-B)² + 2²ABcos²β}  … 包絡線(envelope)
y₁ + y₂ = Asina + Bsinb = Dsin(α + Tan^-1C)
▼ 振動数が同じ場合
α= (a+b)/2 = -2πft
β= (a-b)/2 = 2πfx/v
C = {(A-B)sinβ}/{(A+B)cosβ}
D = √{(A-B)² + 2²ABcos²β}  … 包絡線(envelope)
y₁ + y₂ = Asina + Bsinb = Dsin(α + Tan^-1C)
▼ 定常波(振幅も同じ場合)
α= (a+b)/2 = -2πft
β= (a-b)/2 =  2πfx/v
D = 2Acosβ  … 包絡線(envelope)
y₁ + y₂ = Asina + Asinb = Dsinα