N88-BASICで3次方程式 (2回目)

2021/10/8(金)

N88-BASICで3次方程式 (2回目)
 
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f(x) = 0の解を通る線を表示する

(Re x, Im x, Re y)座標で考える
 
Im f(x) = 0の(Re x, Im x)平面上の線
を調べる
 
x = R + Iiと置くと
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
= a(R³+3R²Ii-3RI²-I³i)+b(R²+2RIi-I²)+c(R+Ii)+d
= aR³-3aRI²+bR²-bI²+cR+d + (3aR²-aI²+2bR+c)Ii
 
I ＝ 0の時
Re y = 0かつIm x = 0はRe x軸なので
Re y = Re f(x)とRe x軸の交点が解となる
 
I ≠ 0の時
Re f(x) = aR³-3aRI²+bR²-bI²+cR+d
Im f(x) = (3aR²-aI²+2bR+c)I
 
Re y = Re f(x)とRe y = 0かつIm f(x) = 0
のグラフの交点が解になる
Im f(x) = 0となるのは3aR²-aI²+2bR+c = 0
のとき
 
Re y = 0は(Re x, Im x)平面なので
この平面上で
3aR²-aI²+2bR+c = 0のグラフを描くため
これを変形して
3a(R+b/(3a))² - aI² - b²/(3a) + c = 0
(R+b/(3a))² - I²/3 = (b² - 3ac)/(3a)² 
F = (b² - 3ac)/(3a)² と置くと
(R+b/(3a))² - I²/3 = F
(R+b/(3a))²/F - I²/(3F) = 1
なので
b² - 3ac > 0 (F > 0)ならI軸対象
b² - 3ac < 0 (F < 0)ならR軸対象
の双曲線になります
b² - 3ac = 0 (F = 0)なら
(R+b/(3a))² - I²/3 = 0
I² = 3(R+b/(3a))² ⇒ I = ±√3 {R+b/(3a)}
(R+b/(3a))² = I²/3 ⇒ R = {-b±aI√3}/(3a)
より、2直線になります
 
I軸対象または2直線なら
(R+b/(3a))² - I²/3 = (b² - 3ac)/(3a)² 
(R+b/(3a))² = (b² - 3ac + 3a²I²)/(3a)² 
R+b/(3a) = ±√(b² - 3ac + 3a²I²) / (3a)
R = {-b±√(b² - 3ac + 3a²I²)}/(3a)
2直線の時
R = {-b±√(3a²I²)}/(3a) = {-b±aI√3}/(3a)
 
R軸対象なら
aI² = 3aR² + 2bR + c
I = ±√[{(3aR + 2b)R + c} / a]
または
(R+b/(3a))² - I²/3 = (b² - 3ac)/(3a)² 
I² = 3{(R+b/(3a))² - (b² - 3ac)/(3a)² }
I = ±√[3{3a(R+b/(3a))}²-(b² - 3ac)] / (3a)
2直線の時
I = ±√[3{R+b/(3a)}²] = ±√3 {R+b/(3a)}
 
で紫線を描いています
(今回は、この紫線を追加しました)
 
解は、この線(紫線,複素数)または
Re x軸(青線,実数)上に存在します

NL-BASICとblg～.zip(cubi002.bas)は
このブログ(以下のリンク)からダウンロードできます

https://ulprojectmail.blogspot.com
Readme.txtを読んで遊んで下さい