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2025/11/21(金)   等速円運動 ( 2 回目 )   ( uniform circular motion )   ■ 等速円運動 ▼ 等速円運動 の軌跡 φ φ(x, y, z) = x 2   + y 2   - r 2   と置くと φ(x, y, z) = 0 は原点を中心とする半径 rのxy平面上の円を表す   ▼ 勾配 grad gradφ = ∇ φ  = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) φ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) (x 2   + y 2   - r 2 ) = ( ( ∂/∂x )(x 2   + y 2   - r 2 ) , ( ∂/∂y )(x 2   + y 2   - r 2 ) , ( ∂/∂z )(x 2   + y 2   - r 2 ) ) = ( 2x ,   2y ,   0)   これは点 (x, y)での法線の方向を示すベクトルになっている様です   ■ 結果 ▼ 軌跡 φ φ(x, y, z) = x 2   + y 2   - r 2   = 0   ▼ 勾配 grad gradφ = ( 2x ,   2y ,   0)  … 点 (x, y)での法線方向  

2025/ 11 / 17 ( 月 ) 批判される行動をとってしまった人がいて その人を批判している人が その人と立場だったとき同じ行動をして しまうだろうという想像力はあってほしい     　人間は世界を言葉で理解すると言われるが 言葉は現象のデジタル化なので人に伝えやすくは なるが失われる情報も多い 　数学などで科学的に理解する方が 人に伝わりにくくなるが解像度は高まる 　虹は言語化すると 7色ほどだが実際は無限色に近い  

2025/11/15(土)   等速円運動 (1回目)   ( uniform circular motion )   ■ 等速円運動 ▼ 位置R、速度V、加速度A θ :角度 ω:角速度 t :時間   R = (x, y, z) = (rcosθ, rsinθ, 0) = (rcosωt, rsinωt, 0)   V = (v x , v y , v z ) = ((d/dt)rcosωt, (d/dt)rsinωt, (d/dt)0) = (-ωrsinωt, ωrcosωt, 0) = (-ωy, ωx, 0)   A = (a x , a y , a z ) = ((d/dt)(-ωrsinωt), (d/dt)ωrcosωt, (d/dt)0) = (-ω 2 rcosωt, -ω 2 rsinωt, 0) = (-ω 2 x, -ω 2 y, 0)   ▼ ナブラ ∇ ∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)   ▼ 回転rot rotR = ∇ ×R = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) ×(x, y, z) = (( ∂/∂ y)z - ( ∂/∂ z)y, ( ∂/∂ z)x - ( ∂/∂ x)z, ( ∂/∂ x)y - ( ∂/∂ y)x) = (0, 0, ( ∂/∂ x)rsinωt - ( ∂/∂ y)rcosωt) = (0, 0, 0)   rotV = ∇ ×V = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) ×(v x , v y , v z ) = (( ∂/∂ y)v z   - ( ∂/∂ z)v y , ( ∂/∂ z)v x   - ( ∂/∂ x)v z , ( ∂/∂ x)v y   - ( ∂/∂ y)v x ) = (0, 0, ( ∂/∂ x)ωx - ( ∂/∂ y)(-ωy)) = (0, 0, ω - (-ω)) = (0, 0, 2ω)   rotA = ∇ ×A = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) ×(a x , a y , a z ) = (( ∂/∂ y)a z   - ( ∂/∂ z)a y , ( ∂/∂ z)a x   - ( ∂/∂ ...

202 5 / 11/8(土 ) N88-BASICでnのn乗の和   ( summation )   ■   nのn乗の和の1の位 ▼   問題 Σ n=1 100 n n   = 1 1   + 2 2   + 3 3   + … + 100 100   の 1の位はいくつか   ▼   参照 https://ulprojectmail.blogspot.com/2025/11/nn1summation.html nのn乗の和の1の位   より Σ n=1 100 n n   = 1 1   + 2 2   + 3 3   + … + 100 100   ≡ 0 (mod 10) (1の位は0)     ■   多桁演算 (正の整数の和積) ▼   設計 Σ n=1 100 n n   = 1 1   + 2 2   + 3 3   + … + 100 100   < 100 100 ･ 100 = 10 202   (203桁) より 文字変数 (最大255文字)で1文字1桁に対応させて足りるので 正の整数 255桁(文字)同士の和積を実装し計算する   n = 1～100までの各結果の下2桁を表示し 最後に Σ n=1 100 n n   の結果と計算時間を表示しています   ▼   結果 Σ n=1 100 n n   = 1 1   + 2 2   + 3 3   + … + 100 100   = 10037111574617644535170121071336194152854686194907 35145420151724372365800346347469712449437881324601 50776779198800002366059871900041784732217539059306 4838349778659735767513458533859817194489690276419...

202 5 / 11/1 ( 土 ) nのn乗の和の1の位   ( summation )   ■   nのn乗の和の1の位 ▼   問題 Σ n=1 100 n n   = 1 1   + 2 2   + 3 3   + … + 100 100   の 1の位はいくつか   ■   考察 ▼   n n (1≦n≦100)を10で割った余りを調べる           5,6,7,8,…,100 (1～10のn乗を10で割った余りを以下に示す)      n   =1,2,3,4,   1 n   ≡ 1       (mod 10)   2 n   ≡ 2,4,8,6 (mod 10) … (2 4 8 16 (3)2 (6)4 …)   3 n   ≡ 3,9,7,1 (mod 10) … (3 9 27 81 (24)3 …)   4 n   ≡ 4,6     (mod 10) … (4 6 24 …)   5 n   ≡ 5       (mod 10) … (5 25 …)   6 n   ≡ 6       (mod 10) … (6 36 …)   7 n   ≡ 7,9,3,1 (mod 10) … (7 9 3 1 7 …)   8 n   ≡ 8,4,2,6 (mod 10) … (8 4 2 6 8 …)   9 n   ≡ 9,1     (mod 10) … (9 1 9 …) 10 n   ≡ 0      ...

202 5 / 10/30 (木 ) 積分の公式   ( 4 回目 )   ( integral )   ■   公式 ▼ 三角関数 sin2x = 2sinxcosx cos2x = cos 2 x-sin 2 x = (1-sin 2 x)-sin 2 x = 1-2sin 2 x = cos 2 x-(1-cos 2 x) = 2cos 2 x-1 1-cosx = 2sin 2 (x/2) 1+cosx = 2cos 2 (x/2)   ▼ 双曲線関数 sinh(x) = {exp(x)-exp(-x)}/2 cosh(x) = {exp(x)+exp(-x)}/2 tanh(x) = {exp(x)-exp(-x)}/{exp(x)+exp(-x)}   ▼ 逆双曲線関数1 y = sinh(x) = {exp(x)-exp(-x)}/2 2yexp(x) = exp(2x)-1 exp(2x) - 2yexp(x) - 1 = 0 exp(x) = y±√(y 2 +1) ≧ 0 x = log{y+√(y 2 +1)} sinh -1 (y) = log|y+√(y 2 +1)|   ▼ 逆双曲線関数2 y = cosh(x) = {exp(x)+exp(-x)}/2 2yexp(x) = exp(2x)+1 exp(2x) - 2yexp(x) + 1 = 0 exp(x) = y±√(y 2 -1) ≧ 0 x = log{y+√(y 2 -1)}  … (y ≧ 1) cosh -1 (y) = log|y+√(y 2 -1)|     ■   微分 ▼ 逆双曲線関数の微分1 {sinh -1 (x)}' = {log{x+√(x 2 +1)}}' = {x+√(x 2 +1)}'{1/{x+√(x 2 +1)}} = {1+(x 2 +1)'(1/2)/√(x 2 +1)}/{x+√(x 2 +1)} = {1+x/√(x 2 +1)}/{x+√(x 2 +1)} = {√(x 2 +1)+x}/{x√(x 2 +1)+(x 2 +1)} = {(x 2 +1)-x 2 }/[{√(x 2 +1)-x}{x√(x 2 +1)+(x 2 +...