N88-BASICで二項分布 (3回目)
2021/11/11(木)
N88-BASICで二項分布 (3回目)
n枚の100円玉とn枚の500円玉を
同時に投げたとき
それぞれのおもての数をx, yとすると
x < y, x = y, x > y となる確率を求める
---------------------------------------------
nCrの公式
---------------------------------------------
nCr = n!/{(n-r)!r!} = nCn-r
(a+b)n = Σ(nCi･an-i･bi)
2n = (1+1)n = Σ(nCi･1n-i･1i)
= ΣnCi (i=0～n)
(1+x)n(1+x)n = (1+x)2n
左辺のxnの項は(i=0～n)として
Σ(nCi･1n-i･xi)(nCn-i･1n-(n-i)･xn-i)
= xnΣ(nCi･nCn-i) = xnΣ(nCi)2
右辺のxnの項は
2nCn･12n-n･xn = 2nCn･xn
よって、2nCn = Σ(nCi)2 (i=0～n)
n! = Πk (k=1～n) = 1･2･ … ･n
(2n)! = Π(2k-1)Π(2k) (k = 1～n)
(奇数と偶数に分けて掛け算)
---------------------------------------------
x = yの確率を考える
---------------------------------------------
各コインは独立試行なので表の数x, yは
二項分布B(n, p)に従うので
100円玉の表の数がx枚になる確率は
nCx･px･(1-p)n-x (p=1/2)
500円玉の表の数がy枚になる確率は
nCy･py･(1-p)n-y (p=1/2)
100円玉がx枚かつ500円玉がy枚になる
確率は、nCx･px･(1-p)n-x･nCy･py･(1-p)n-y なので
x = y = i (i=0～n)となる確率は
Σ{nCi･pi･(1-p)n-i･nCi･pi･(1-p)n-i} (i=0～n)
= Σ[(nCi)2･{pi･(1-p)n-i}2] (i=0～n)
ここで、p = 1/2を代入し
= Σ[(nCi)2･{(1/2)i(1/2)n-i}2] (i=0～n)
= Σ{(nCi)2･(1/2)2n} (i=0～n)
= (1/2)2nΣ(nCi)2 (i=0～n)
= (1/2)2n･2nCn
= (1/2)2n(2n)!/(n!･n!)
= (2n!)/(2n･n!･2n･n!)
= Π{(2k-1)/(2k)}Π{(2k)/(2k)} (k=1～n)
= Π{(2k-1)/(2k)} (k=1～n)
= Π{(k-0.5)/k} (k=1～n)
---------------------------------------------
x < yの確率を考える
---------------------------------------------
x < yとx > yとなる確率は同じなので
x = yとなる確率をpとすると
(1-p)/2
となる
NL-BASICとblg～.zip(bino003.bas)は
このブログ(以下のリンク)から
ダウンロードできます
N88-BASICで二項分布 (3回目)
n枚の100円玉とn枚の500円玉を
同時に投げたとき
それぞれのおもての数をx, yとすると
x < y, x = y, x > y となる確率を求める
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nCrの公式
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nCr = n!/{(n-r)!r!} = nCn-r
(a+b)n = Σ(nCi･an-i･bi)
2n = (1+1)n = Σ(nCi･1n-i･1i)
= ΣnCi (i=0～n)
(1+x)n(1+x)n = (1+x)2n
左辺のxnの項は(i=0～n)として
Σ(nCi･1n-i･xi)(nCn-i･1n-(n-i)･xn-i)
= xnΣ(nCi･nCn-i) = xnΣ(nCi)2
右辺のxnの項は
2nCn･12n-n･xn = 2nCn･xn
よって、2nCn = Σ(nCi)2 (i=0～n)
n! = Πk (k=1～n) = 1･2･ … ･n
(2n)! = Π(2k-1)Π(2k) (k = 1～n)
(奇数と偶数に分けて掛け算)
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x = yの確率を考える
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各コインは独立試行なので表の数x, yは
二項分布B(n, p)に従うので
100円玉の表の数がx枚になる確率は
nCx･px･(1-p)n-x (p=1/2)
500円玉の表の数がy枚になる確率は
nCy･py･(1-p)n-y (p=1/2)
100円玉がx枚かつ500円玉がy枚になる
確率は、nCx･px･(1-p)n-x･nCy･py･(1-p)n-y なので
x = y = i (i=0～n)となる確率は
Σ{nCi･pi･(1-p)n-i･nCi･pi･(1-p)n-i} (i=0～n)
= Σ[(nCi)2･{pi･(1-p)n-i}2] (i=0～n)
ここで、p = 1/2を代入し
= Σ[(nCi)2･{(1/2)i(1/2)n-i}2] (i=0～n)
= Σ{(nCi)2･(1/2)2n} (i=0～n)
= (1/2)2nΣ(nCi)2 (i=0～n)
= (1/2)2n･2nCn
= (1/2)2n(2n)!/(n!･n!)
= (2n!)/(2n･n!･2n･n!)
= Π{(2k-1)/(2k)}Π{(2k)/(2k)} (k=1～n)
= Π{(2k-1)/(2k)} (k=1～n)
= Π{(k-0.5)/k} (k=1～n)
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x < yの確率を考える
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x < yとx > yとなる確率は同じなので
x = yとなる確率をpとすると
(1-p)/2
となる
NL-BASICとblg～.zip(bino003.bas)は
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