N88-BASICで点と直線の距離 (1回目)

 2022/3/25(金)
N88-BASICで点と直線の距離 (1回目)
 
初めに
1. 原点(0,0)と直線ax+by+c=0との距離dを求める
 

 

y切片と傾きを書いたグラフの
2つの相似な直角三角形の
辺の比で求めています
 
直線ax + by + c = 0 [ y = -(a/b)x - c/b ]と
原点O(0, 0)との距離dは
上記図より
d = |c| / √(a²+b²)
となる
 
次にグラフの平行移動を考える
2. 平行移動

 

ちなみに、平行移動を使って
A(x₁,y₁)を通る傾きmの直線の方程式
y-y₁=m(x-x₁)
を求める事ができる
 
最後に
3. 点P(x₁,y₁)と直線ax+by+c=0との距離dを求める

 
 

点P(x₁,y₁)と直線ax+by+c=0を
x方向に-x₁、y方向に-y₁移動させると
点Pは原点(0,0)に、直線はax+by+(ax₁+by₁+c)=0
に移動するが、距離dは変わらないので
原点と直線の距離の公式のcを(ax₁+by₁+c)で
置き換えれば良い
よって
直線L: ax + by + c = 0 [ y = -(a/b)x - c/b ]と
点P(x₁, y₁)との距離d = |ax₁+by₁+c|/√(a²+b²)
となる
 
また、距離d = |ax₁+by₁+c|/√(a²+b²)は
以下の図で求める事も出来る

 
 

点P(x₁, y₁)を-x₁, -y₁ 移動して原点に持ってくる
ax + by + c = 0も-x₁, -y₁ 移動して
a{x-(-x₁)} + b{y-(-y₁)} + c = 0
ax + by + ax₁+by₁+c = 0
この式と原点の距離がdと同じになる
 
上図のようにax + by + ax₁+by₁+c = 0
を変形して傾きと切片からグラフを書くと
相似な2つの直角三角形が書ける
 
三平方の定理より
r' = √(a²/b² + 1²) = √{(a²+b²)/b²}
= √(a²+b²)/b
 
d : 1 = r : r' = (ax₁+by₁+c)/b : √(a²+b²)/b
d : 1 =  ax₁+by₁+c  : √(a²+b²)
d / 1 = (ax₁+by₁+c) / √(a²+b²)
d = |ax₁+by₁+c|/√(a²+b²)
 
おまけ
 
点P(x₁, y₁)から
直線L: ax + by + c = 0
への垂線との交点H(x,y)を求める
 
原点からax + by + (ax₁ + by₁ + c) = 0
への垂線との交点(x,y)は
x = -ac/(a²+b²)
y = -bc/(a²+b²)
のcをax₁ + by₁ + cに置き換た式となり
原点を点P(x₁, y₁)へ移動させる
つまり(x₁, y₁)を足せば
点H(x, y)となるので
 
x = x₁ - a(ax₁ + by₁ + c)/(a²+b²)
= {x₁(a²+b²) - a(ax₁ + by₁ + c)}/(a²+b²)
= {x₁b² - a(by₁ + c)}/(a²+b²)
= { b(bx₁ - ay₁) - ac}/(a²+b²)
 
y = y₁ - b(ax₁ + by₁ + c)/(a²+b²)
= {y₁(a²+b²) - b(ax₁ + by₁ + c)}/(a²+b²)
= {y₁a² - b(ax₁ + c)}/(a²+b²)
= {-a(bx₁ - ay₁) - bc}/(a²+b²)
 
よって
点Pから直線Lへの垂線との交点H(x,y)は
x = { b(bx₁ - ay₁) - ac}/(a²+b²)
y = {-a(bx₁ - ay₁) - bc}/(a²+b²)
となる
 
例
4x-3y+24=0 [y=(4/3)x+8]
とP(1,1)の距離dは
d = |ax₁+by₁+c|/√(a²+b²)
= |4･1-3･1+24|/√{4²+(-3)²}
= |25|/√25 = 25/5 = 5
d = 5
点から直線への垂線の交点H(x,y)は
x = { b(bx₁ - ay₁) - ac}/(a²+b²)
= {-3(-3･1-4･1)-4･24}/{4²+(-3)²}
= {-3･(-7)-96}/25 = -75/25 = -3
y = {-a(bx₁ - ay₁) - bc}/(a²+b²)
= {-4(-3･1-4･1)-(-3)･24}/{4²+(-3)²}
= {-4･(-7)+72}/25 = 100/25 = 4
H(-3,4)
 
NL-BASICとblg～.zip(dis001.bas)は
以下のリンクからダウンロードできます

https://ulprojectmail.blogspot.com
Readme.txtを読んで遊んで下さい