N88-BASICで円の接線

2022/3/29(火)
N88-BASICで円の接線
 
点P(px,py)を通る、中心C(x₀,y₀)、半径rの円
への接線を描く
 
円の方程式
円は、中心(x₀,y₀)から任意の点(x,y)へのベクトル
の長さがrとなる点(x,y)の集合なので
|(x-x₀,y-y₀)| = rより
(x-x₀)² + (y-y₀)² = r² 
原点が中心なら
x² + y² = r² 
 
原点Oを中心とした半径rの円周上の点P(p,q)を
通る接線は
原点から点Pへの方向に垂直なので
傾きは-p/qで、点Pを通るので
y - q = -(p/q)(x - p)
qy - q² = -px + p² 
px + qy = p² + q² (OからPの距離の2乗はr²)
px + qy = r² 
 
点A(x₁,y₁)を通る、原点Oを中心とした半径rの円
の接線は
円周上の点P(p,q)を通るとすると
px + qy = r² 
この直線は点Aを通るので
px₁ + qy₁ = r² 
また点Pは円周上にあるので
p² + q² = r² にq = (r² - px₁)/y₁ を代入
p² + (r² - px₁)²/y₁² = r² 
y₁²p² + r⁴ - 2x₁r²p + p²x₁² = y₁²r² 
(x₁² + y₁²)p² - 2x₁r²p + r²(r² - y₁²) = 0
p = x₁r² ±√{x₁²r⁴ - (x₁² + y₁²)r²(r² - y₁²)}/(x₁² + y₁²)
= x₁r² ±r√{x₁²r² - (x₁² + y₁²)(r² - y₁²)}/(x₁² + y₁²)
= x₁r² ±r√(x₁²r² - r²x₁² - r²y₁² + x₁²y₁² + y₁⁴)/(x₁² + y₁²)
= x₁r² ±ry₁√(x₁² + y₁² - r²)/(x₁² + y₁²)
= r{x₁r±y₁√(x₁² + y₁² - r²)}/(x₁² + y₁²)
 
p² + q² = r² にp = (r² - qy₁)/x₁ を代入すると
pの式のp,x₁,y₁をq,y₁,x₁に置き換えたものとなり
 
接線の円周上の点P(p,q)は
p = r{x₁r±y₁√(x₁² + y₁² - r²)}/(x₁² + y₁²)
q = r{y₁r±x₁√(x₁² + y₁² - r²)}/(x₁² + y₁²)
となります
円周上の点はxが増えればyが減るので
±はx,yで逆のペアとなります
p = r{x₁r +- y₁√(x₁² + y₁² - r²)}/(x₁² + y₁²)
q = r{y₁r -+ x₁√(x₁² + y₁² - r²)}/(x₁² + y₁²)
 
 
点P(px,py)を通る、中心C(x₀,y₀)、半径rの円
への接線を描く
接点の座標A(p,q)が分かれば接線の線分APを引くことが
出来ます
 
点Pと円を円の中心が原点になるように移動し、
上記式で点Aを求め、元の座標に戻せばよいので
 
f(x₁, y₁) = r{x₁r +- y₁√(x₁² + y₁² - r²)}/(x₁² + y₁²)
g(x₁, y₁) = r{y₁r -+ x₁√(x₁² + y₁² - r²)}/(x₁² + y₁²)
と定義すれば
接点の座標A(p,q)は
p = f(x₁-x₀, y₁-y₀) + x₀ 
q = g(x₁-x₀, y₁-y₀) + y₀ 
で求まります
  
NL-BASICとblg～.zip(tan001.bas)は
以下のリンクからダウンロードできます

https://ulprojectmail.blogspot.com
Readme.txtを読んで遊んで下さい