N88-BASICでベクトル (2回目)

 2022/3/6(日)

N88-BASICでベクトル (2回目)

 
ベクトルの外積
 
a,bベクトルの外積cベクトルは、
c = a×b = -b×aで、a,bベクトルが
作る平行四辺形の面積と同じ大きさ
で垂直なベクトルになります
向きは、aからbへ右手の4本指を
向けた時、残りの親指の方向です
(aからbへ右ねじを回して進む向き)

 

b_x : d = b_y : a_y より、b_yd = a_yb_x 

図2 a,bベクトルが作る平行四辺形の面積
    a_xb_y - a_yb_x 
 
a,bベクトルが作る平行四辺形(青+黄)の
面積は、図2のようになります
 
黄に注目すると、平行四辺形の面積を変え
ずに底辺を水平にすることができます
 
底辺を水平にした平行四辺形の面積は
a_xb_y - b_yd です
 
紫の三角形は相似なので
b_x : d = b_y : a_y より、b_yd = a_yb_x 
となり、
紫+灰?+水色の平行四辺形と
紫+灰?+桃色の平行四辺形が同じ面積
になり、
a_xb_y - b_yd = a_xb_y - a_yb_x です
よって、a,bベクトルが作る平行四辺形
(青+黄)の面積は、a_xb_y - a_yb_x となります
 
a,bベクトルが作る平行四辺形の
面積と同じ大きさで垂直なベクトルを
cベクトルとすると、
c = (0, 0, a_xb_y - a_yb_x)
となります
a,bベクトルはxy平面上なので
cベクトルはz軸方向になります
 
ここから、3次元ベクトルを大文字で
表すことにします
 
A = (a_x, a_y, a_z)
B = (b_x, b_y, b_z)として、
A,Bベクトルが作る平行四辺形を
x,y,z軸側から見ると
x軸 c_x = a_yb_z - a_zb_y 
y軸 c_y = a_zb_x - a_xb_z 
z軸 c_z = a_xb_y - a_yb_x 
の大きさに見えます
C = (c_x, c_y, c_z)
はA,Bベクトルが作る平行四辺形の
面積と同じ大きさで垂直なベクトル
になります
C = A×B です
 
別の導き方、
E_x,E_y,E_zを各(直交)座標軸の
単位ベクトルとすると、
A = a_xE_x + a_yE_y + a_zE_z 
B = b_xE_x + b_yE_y + b_zE_z 
 
E_i×E_i = 0ベクトル (i=x,y,z)
E_x×E_y = Ez 、E_y×E_x = -E_z 
E_y×E_z = E_x 、E_z×E_y = -E_x 
E_z×E_x = E_y 、E_x×E_z = -E_y 
 
A×B = (a_xE_x + a_yE_y + a_zE_z)
     ×(b_xE_x + b_yE_y + b_zE_z)
= a_xE_x×b_yE_y + a_xE_x×b_zE_z 
 +a_yE_y×b_xE_x + a_yE_y×b_zE_z 
 +a_zE_z×b_xE_x + a_zE_z×b_yE_y 
= a_xb_yE_z - a_xb_zE_y 
 -a_yb_xE_z + a_yb_zE_x
 +a_zb_xE_y - a_zb_yE_x 
= (a_yb_z - a_zb_y)E_x 
 +(a_zb_x - a_xb_z)E_y 
 +(a_xb_y - a_yb_x)E_z 
= (a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x)
 
A,Bベクトルが作る平面の法線ベクトルN
(面に垂直な単位ベクトル)は
C = A×B
N = C / |C|で求めることができます
 
以下のサンプルは、
マウスの左クリックでベクトルB
      右クリックでベクトルA
がzx平面(横線)を移動してC = A×B
(縦線)の1/100を表示します
 
NL-BASICとblg～.zip(vec002.bas)は
以下のリンクからダウンロードできます

https://ulprojectmail.blogspot.com
Readme.txtを読んで遊んで下さい