N88-BASICでサンクトペテルブルクのパラドックス (2回目)

2022/8/22(月)
N88-BASICでサンクトペテルブルクのパラドックス (2回目)
 
サンクトペテルブルクのパラドックス
(The sankt petersburg paradox)
とは
 
確率1/2のコインを表がでるまで投げるゲームで
1回目で表が出れば1円　…　確率1/2
2回目で表が出れば2円　…　確率1/4
3回目で表が出れば4円　…　確率1/8
i回目で表が出れば2^i-1 円…　確率1/2ⁱ 
がもらえるとすると
このゲームの期待値Eは
E = 1×1/2 + 2×1/4 + … + 2^i-1×1/2ⁱ …
　= 1/2 + 1/2 + … + 1/2 + …
　= ∞ 円
となり、1回1万円でもやった方が得?
しかし、実際には損する確率が高い?
という矛盾が生じるというパラドックスです
 
 
前回の計算を工夫して
q = 1/∞により近付けるよう工夫して見ます
 
q = これより低い確率を無視する
n = [log(q)/log(1/2)] … (コインは最大n回まで投げる)
p(n) = (1/2)ⁿ … (上記の確率)
E = n(1/2) … (その時の期待値)
 
E = Σ(2^i-1×1/2ⁱ) = Σ1/2 (i = 1～n, n = ∞)
　= n(1/2)
 
 
考察
[log(1/2) = log(2^-1) = -log(2)]
 
q = 10^-k と置くと
n = [log(q)/log(1/2)] = [log(10^-k)/log(1/2)]
　= [k(log10 / log2)]
 
 
p(n) = (1/2)ⁿ = 10^-h と置くと
nlog(1/2) = -hlog10
nlog2 = hlog10
h = n(log2 / log10)
 
 
まとめ
kを入力
q = 10^-k … (これより低い確率を無視する)
n = [k(log10 / log2)] … (コインは最大n回まで)
p(n) = (1/2)ⁿ = 10^-h … (上記の確率)
E = n(1/2) … (その時の期待値)
 
前回の計算で
q = 10^-293 で計算するとE = 486.5円でしたが
これでもほぼ起こらない確率まで入れています
これ以上はファンタジーレベルと言っても
良いのではと思うのですが
 
今回はファンタジーレベルを計算出来るように
しました
 
NL-BASICとblg～.zip(sank002.bas)は
以下のリンクからダウンロードできます

https://ulprojectmail.blogspot.com
Readme.txtを読んで遊んで下さい