N88-BASICでネイピア数 (1回目)

2022/9/6(火)
N88-BASICでネイピア数 (1回目)
 
ネイピア数e(Napier's constant)
 
Ⅰ.
年利1(100%)の利息について、1年をn等分して
複利で1年後の残金が何倍になるかを計算すると
 
n = 1 → 1+1 = 2倍
n = 2 → (1+1/2)(1+1/2) = (3/2)² = 9/4 = 2.25倍
となるので
(1 + 1/n)ⁿ 倍になる
 
n=3 → (1 + 1/3)³ = (4/3)³ =     64/   27 ≒ 2.37倍
n=4 → (1 + 1/4)⁴ = (5/4)⁴ =    625/  256 ≒ 2.44倍
n=5 → (1 + 1/5)⁵ = (6/5)⁵ =   7776/ 3125 ≒ 2.48倍
n=6 → (1 + 1/6)⁶ = (7/6)⁶ = 117649/46656 ≒ 2.52倍
…
n=∞にした時の倍率をeとすると
e = lim[n→∞] (1 + 1/n)ⁿ 
よってeはネイピア数となる(Ⅱを参照)
 
プログラムでは、nを入力し
a = (1 + 1/n)ⁿ とネイピア数e=exp(1)を
表示しています
 
 
Ⅱ.
f(x) = a^x、f'(x) = (d/dx)f(x)として
f'(x) = f(x)となるaをeとすると
 
f'(x) = lim[h→0] {f(x+h)-f(x)}/h
= lim[h→0] (a^x+h - a^x)/h
= a^x lim[h→0] (a^h - 1)/h = a^x より
lim[h→0] (a^h - 1)/h = 1
lim[h→0] (a^h - 1) = lim[h→0] h
lim[h→0] a^h = lim[h→0] (1 + h)
a = lim[h→0] (1 + h)^1/h 
h = 1/nと置くと
a = lim[n→∞] (1 + 1/n)ⁿ 
よって
 
e = lim[n→∞] (1 + 1/n)ⁿ 
 
 
VL,NL,XL-BASICとblg～.zip(napi001.bas)は
以下のリンク)からダウンロードできます

https://ulprojectmail.blogspot.com
Readme.txtを読んで遊んで下さい