N88-BASICでパロンドのパラドックス

2022/9/3(土)
N88-BASICでパロンドのパラドックス
 
パロンド(Parrondo)のパラドックスとは
不利なゲームを組合わせているのに
有利なゲームができるというものだそうです
 
ゲームA(不利なゲーム)
　48%の確率で1円得、52%の確率で1円払う
 
ゲームB(不利なゲーム)
　所持金が3の倍数なら
　　 1%の確率で1円得、99%の確率で1円払う
　所持金が3の倍数以外なら
　　85%の確率で1円得、15%の確率で1円払う
 
ゲームC(有利なゲーム)
　半々の確率でゲームAまたはゲームBをする
 
これら、ゲームA～Cの期待値を求めて見ます
まず、
p_a  = 0.48
p_b0 = 0.01
p_b1 = 0.85
p_c  = 0.5
と置いて、式をつくります
 
ゲームA
　p_aの確率で1円得、1-p_aの確率で1円払う
 
ゲームB
　所持金が3の倍数なら
　　p_b0の確率で1円得、(1-p_b0)の確率で1円払う
　所持金が3の倍数以外なら
　　p_b1の確率で1円得、(1-p_b1)の確率で1円払う
 
ゲームC
　p_cの確率でゲームA、(1-p_c)の確率でゲームBをする
 
期待値E_BC 
所持金を3で割った余りが0,1,2である確率を
それぞれx,y,zとし、
余りが0の時、勝つ確率をp₀、それ以外の時、
勝つ確率をp₁とする
 
所持金/3の余り:確率
0(x)→1(y,+1):p₀、0(x)→2(z,-1):(1-p₀)
1(y)→2(z,+1):p₁、1(y)→0(x,-1):(1-p₁)
2(z)→0(x,+1):p₁、2(z)→1(y,-1):(1-p₁)
 
x = (1-p₁)y + p₁z (y→x,z→x)
y = (1-p₁)z + p₀x (z→y,x→y)
z = (1-p₀)x + p₁y (x→z,y→z)
x + y + z = 1
 
z + y = 1 - x
期待値E_BC
= {1円×p₀-1円×(1-p₀)}･x　　　… x→+1、x→-1
+ {1円×p₁-1円×(1-p₁)}(y + z) … (y,z)→+1、(y,z)→-1
= (p₀-1+p₀)･x + (p₁-1+p₁)(y + z)
= (2p₀-1)･x + (2p₁-1)(1-x)
= (2p₀-1)･x + (2p₁-1) - (2p₁-1)･x
= 2(p₀-p₁)･x + 2p₁ - 1
 
z = 1 - x - y
 
x = (1-p₁)y + p₁(1 - x - y)
= (1-p₁)y + p₁ - p₁x - p₁y
 
(1+p₁)x + (2p₁-1)y = p₁ 
 
y = (1-p₁)(1 - x - y) + p₀x
= (1-p₁) - (1-p₁)x - (1-p₁)y + p₀x
(1-p₁-p₀)x + (2-p₁)y = (1-p₁)
 
(1+p₁)(2-p₁)x + (2p₁-1)(2-p₁)y = p₁(2-p₁)
(2p₁-1)(1-p₁-p₀)x + (2p₁-1)(2-p₁)y = (2p₁-1)(1-p₁)
 
x = {p₁(2-p₁)-(2p₁-1)(1-p₁)}/{(1+p₁)(2-p₁)-(2p₁-1)(1-p₁-p₀)}
= {p₁(2-p₁)+(2p₁-1)(p₁-1)}/{(1+p₁)(2-p₁)+(2p₁-1)(p₀+p₁-1)}
= (2p₁-p₁²+2p₁²-2p₁-p₁+1)/(2-p₁+2p₁-p₁²+2p₀p₁+2p₁²-2p₁-p₀-p₁+1)
= (p₁²-p₁+1)/(p₁²+2p₀p₁+3-p₀-2p₁)
 
期待値E_BC = 2(p₀-p₁)･x + 2p₁ - 1
= 2(p₀-p₁)(p₁²-p₁+1)/(p₁²+2p₀p₁+3-p₀-2p₁) + 2p₁ - 1
= 2(p₀-p₁){p₁(p₁-1)+1}/{p₁(p₁-2)+p₀(2p₁-1)+3} + 2p₁ - 1
 
まとめ
期待値E_A 
= 1円 × p_a + (-1円) × (1-p_a)
= p_a - (1-p_a) = 2p_a - 1 (円)
 
期待値E_BC 
= 2(p₀-p₁){p₁(p₁-1)+1}/{p₁(p₁-2)+p₀(2p₁-1)+3} + 2p₁ - 1
に下記数値を代入
ゲームB
　p₀ = p_b0、p₁ = p_b1 
ゲームC
　p₀ = p_ap_c+ p_b0(1-p_c)、p₁ = p_ap_c+ p_b1(1-p_c)
 
実行すると100000円の所持金からスタートして
ゲームA～Cをそれぞれ100000回シミュレートして
1回当たりの平均利益(期待値)を
上記理論値とともに表示しています

おまけ
具体的な数値での計算過程
 
ゲームA(不利なゲーム)
　48%の確率で1円得、52%の確率で1円払う
 
ゲームB(不利なゲーム)
　所持金が3の倍数なら
　　 1%の確率で1円得、99%の確率で1円払う
　所持金が3の倍数以外なら
　　85%の確率で1円得、15%の確率で1円払う
 
ゲームC(有利なゲーム)
　半々の確率でゲームAまたはゲームBをする
 
ゲームAの期待値E_A 
= 1円 × 48%/100 + (-1円) × 52%/100
= (48-52)/100 = -4/100 = -0.04円
 
ゲームBの期待値E_B 
 
所持金を3で割った余りが0,1,2である確率を
それぞれx,y,zとする
 
所持金/3の余り:確率
0(x)→1(y,+1):0.01、0(x)→2(z,-1):0.99
1(y)→2(z,+1):0.85、1(y)→0(x,-1):0.15
2(z)→0(x,+1):0.85、2(z)→1(y,-1):0.15
 
x = 0.15y + 0.85z (y→x,z→x)
y = 0.15z + 0.01x (z→y,x→y)
z = 0.99x + 0.85y (x→z,y→z)
x + y + z = 1
z = 1 - x - y
 
x = 0.15y + 0.85(1 - x - y)
= 0.15y + 0.85 - 0.85x - 0.85y
1.85x + 0.70y = 0.85 (各項×20)
37x + 14y = 17
4255x + 1610y = 1955
518x + 196y = 238
 
y = 0.15(1 - x - y) + 0.01x
= 0.15 - 0.15x - 0.15y + 0.01x
0.14x + 1.15y = 0.15
14x + 115y = 15
196x + 1610y = 210
518x + 4255y = 555
 
4059x = 1745、x = 1745/4059
4059y = 317、y = 317/4059
y + z = (4059-1745)/4059 = 2314/4059
z = (2314-317) 1997/4059
(x≒43.0%、y≒7.8%、z≒49.2%)
 
0(x)→1(y,+1):0.01、0(x)→2(z,-1):0.99
1(y)→2(z,+1):0.85、1(y)→0(x,-1):0.15
2(z)→0(x,+1):0.85、2(z)→1(y,-1):0.15
 
期待値E_B 
= (1円×0.01-1円×0.99)･x　　　… x→+1、x→-1
+ (1円×0.85-1円×0.15)(y + z) … (y,z)→+1、(y,z)→-1
= -0.98×1745/4059 + 0.70×2314/4059
= (-1710.1 + 1619.8) / 4059 = -90.3/4059
= -903/40590 = -301/13530
≒ -0.02224685円
 
ゲームCの期待値E_C 
 
所持金を3で割った余りが0,1,2である確率を
それぞれx,y,zとする
 
所持金/3の余り:確率
0(x)→1(y,+1):(0.01+0.48)/2、0(x)→2(z,-1):(0.99+0.52)/2
1(y)→2(z,+1):(0.85+0.48)/2、1(y)→0(x,-1):(0.15+0.52)/2
2(z)→0(x,+1):(0.85+0.48)/2、2(z)→1(y,-1):(0.15+0.52)/2
 
0(x)→1(y,+1):0.245、0(x)→2(z,-1):0.755
1(y)→2(z,+1):0.665、1(y)→0(x,-1):0.335
2(z)→0(x,+1):0.665、2(z)→1(y,-1):0.335
 
x = 0.335y + 0.665z
y = 0.335z + 0.245x
z = 0.755x + 0.665y
x + y + z = 1
z = 1 - x - y
 
x = 0.335y + 0.665(1 - x - y)
= 0.335y + 0.665 - 0.665x - 0.665y
1.665x + 0.33y = 0.665 (各項×200)
333x + 66y = 133
88911x + 17622y = 35511
5994x + 1188y = 2394
 
y = 0.335(1 - x - y) + 0.245x
= 0.335 - 0.335x - 0.335y + 0.245x
0.090x + 1.335y = 0.335 (各項×200)
18x + 267y = 67
1188x + 17622y = 4422
5994x + 88911y = 22311
 
87723x = 31089、x = 31089/87723 = 10363/29241
87723y = 19917、y = 19917/87723 =  6639/29241
(= 2213/9747)
y+z = (29241-10363)/29241 = 18878/29241
z = (18878-6639)/29241 = 12239/29241
(x≒35.4%、y≒22.7%、z≒41.9%)
 
0(x)→1(y,+1):0.245、0(x)→2(z,-1):0.755
1(y)→2(z,+1):0.665、1(y)→0(x,-1):0.335
2(z)→0(x,+1):0.665、2(z)→1(y,-1):0.335
 
期待値E_C 
= (1円×0.245-1円×0.755)･x　　　… x→+1、x→-1
+ (1円×0.665-1円×0.335)(y + z) … (y,z)→+1、(y,z)→-1
= -0.51×10363/29241 + 0.33×18878/29241
= (-5285.13 + 6229.74) / 29241 = 944.61/29241
= 94461/2924100 = 31487/974700
≒ 0.03230429円

 
NL-BASICとblg～.zip(parr001.bas)は
以下のリンクからダウンロードできます

https://ulprojectmail.blogspot.com
Readme.txtを読んで遊んで下さい