直観主義数学

2022/10/4(火)
直観主義数学
 
直観主義数学という言葉を耳にしました
何だろうと思い調べてみると
古典論理と直観主義論理にたどり着きました
 
論理は
「AならばB」が真の時、対偶「BでなければAでない」
も真である、などといった数学の分野です
 
使用分野
古典～は科学分野など
直観～は情報分野(計算機)など
で使用されるそうです
 
直観主義論理は古典論理から排中律を除いたもの
で、証明できる場合がより限定されます
 
排中律は
「AまたはAでない」は真であるという事
(AかAでないかのどちらかしかない)
 
古典～で証明ができて科学分野で役に立っても
直観～で証明できない場合があり、その場合
計算ができなく、情報分野(計算機)では
役に立たないという事です
 
例題
 
「無理数の無理数乗」には有理数が存在する
の証明
 
 
古典～で証明
 
√2は無理数である(証明省略)
(√2 ^√2)^√2 = √2 ^√2√2 = (√2)² = 2で有理数
ここで
「AまたはAでない」は真
(AかAでないかのどちらかしかない)
を使用する
 
√2 ^√2が有理数なら
「無理数の無理数乗」には有理数が存在する
 
√2 ^√2が無理数(有理数でない)なら
(√2 ^√2)^√2 = 2
「無理数の無理数乗」には有理数が存在する
 
つまり
√2 ^√2は有理数か有理数でないかのどちらかしかない
ので、どちらにせよ有理数が存在する
この証明は何らかの役には立つ
 
しかし、直観～で証明されていない
この証明ではどちらが有理数か不明なので
存在する有理数を計算して求める事が出来ない
 
[√2 ^√2を計算してもそれが有理数かどうか不明
(√2 ^√2)^√2 も同様に無理数の無理数乗か不明]
 
 
直観～で証明
 
実は√2 ^√2が無理数であることは証明されている
そうですのでこれを使うと
(√2 ^√2)^√2 = √2 ^√2√2 = (√2)² = 2で有理数
で証明できる(排中律不使用)
 
こちらの証明では無理数の無理数乗
(√2 ^√2)^√2 の計算ができる
N88-BASICでは
? ( sqr(2) ^ sqr(2) ) ^ sqr(2)
ですが、計算誤差の為、丁度2にならないかもしれません
 
 
√2 ^√2が無理数である証明がもし不可能であったなら
直観～で証明する事は出来なかったが
古典～で証明する事は出来る
 
などなど、といったところでしょうか?
(解釈に間違いがあるかもしれませんが
ご了承ください)
N88-BASIC互換?VL,NL,XL-BASICは
以下のリンクからダウンロードできます

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Readme.txtを読んで遊んで下さい