二次曲面とトーラス(torus) (2回目)

2022/12/5(月)
二次曲面とトーラス (2回目)
 
トーラス(torus)は四次方程式なので
4次方程式の解(フェラーリの公式)
の求め方の解説です
 
Quartic equation
ax⁴ + bx³ + cx² + dx² + e = 0を解く
 
変形
B = b/a, C = c/a, D = d/a, E = e/aと置くと
x⁴ + Bx³ + Cx² + Dx + E = 0
 
ここで
x = X - B/4と置くと(X³の項を消すため)
x⁴ + Bx³ + Cx² + Dx + E
= (X-B/4)⁴+B(X-B/4)³+C(X-B/4)²+D(X-B/4)+E
= X⁴ - 4X³(B/4) + 6X²(B/4)² - 4X(B/4)³ + (B/4)⁴ 
+ BX³ - 3BX²(B/4) + 3BX(B/4)² - B(B/4)³ 
+ CX² - 2CX(B/4) + C(B/4)² 
+ DX - DB/4 + E
= X⁴ + (-B + B)X³ + {6(B/4)² - 3B(B/4) + C}X² 
+ {-4(B/4)³ + 3B(B/4)² - 2C(B/4) + D}X
+ {(B/4)⁴  - B(B/4)³ - D(B/4) + E}
= X⁴ + {6(B/4)² - 12(B/4)² + C}X² 
+ {-4(B/4)³ + 12(B/4)³ - 2C(B/4) + D}X
+ {(B/4)⁴ - 4(B/4)⁴ - D(B/4) + E}
= X⁴ + {-6(B/4)² + C}X² 
+ {8(B/4)³ - 2C(B/4) + D}X
+ {-3(B/4)⁴ - D(B/4) + E}
 
s = B/4
p = -6s² + C
q = 8s³ - 2Cs + D
r = -3s⁴ - Ds + E
と置くと
X⁴ + pX² + qX + r = 0
 
q ＝ 0の時、(X⁴ + pX² + r = 0)
X² = {-p±√(p²-4r)}/2
X = ±√[{-p±√(p²-4r)}/2]
 
q ≠ 0の時、(X⁴ + pX² + qX + r = 0)
u ≠ 0として
X⁴ + pX² + qX + r
= {X² + (p+u)/2}² - uX² + qX
- {(p+u)/2}² + r
= {X² + (p+u)/2}² - u(X² - qX/u)
- {(p+u)/2}² + r
= {X² + (p+u)/2}² - u[{X - q/(2u)}² - {q/(2u)}² ]
- {(p+u)/2}² + r
= {X² + (p+u)/2}² - u{X - q/(2u)}² 
- {(p+u)/2}² + q²/(4u) + r
ここで
- {(p+u)/2}² + q²/(4u) + r = 0となる
uをさがす
 
(p+u)²/4 - q²/(4u) - r = 0
u(p+u)² - q² - 4ru = 0
u(p+u)² - 4ru = q² … 3次分解方程式
 
3次方程式は少なくとも1個の実数解を
持つので、その値を今後uとすると
X⁴ + pX² + qX + r
= {X² + (p+u)/2}² - u{X - q/(2u)}² 
= [X² + (p+u)/2 + {X - q/(2u)}√u]
　[X² + (p+u)/2 - {X - q/(2u)}√u]
 
{X² + X√u + (p+u)/2 - (q√u)/(2u)}
{X² - X√u + (p+u)/2 + (q√u)/(2u)} = 0
を解けば良いので
 
X = [-√u ±√[u - 4{(p+u)/2 - (q√u)/(2u)}]]/2
X = [ √u ±√[u - 4{(p+u)/2 + (q√u)/(2u)}]]/2
 
 
以下、uを求める
 
3次分解方程式を解く(実数解1個を見つける)
u(p+u)² - 4ru = q² より
u³ + 2pu² + (p² - 4r)u - q² = 0
つまり
a = 1、b = 2p、c = (p² - 4r)、d = - q² 
として
ax³ + bx² + cx + d = 0
を解く
 
解法の詳しくは
https://ulprojectmail.blogspot.com/2021/10/n88-basic3-1.html
N88-BASICで3次方程式 (1回目)
を参照して下さい
 
x³ + bx² + cx + d = 0は
x = X - b/3
P = (3c - b²)/3
Q = (3³d - 3²bc + 2b³)/3³ 
と置くと
X³ + PX + Q = 0
 
X = α+β, αω+βω², αω²+βω
α= ³√[-q/2+√{(q/2)² + (p/3)³}]
β= ³√[-q/2-√{(q/2)² + (p/3)³}]
 
(q/2)² + (p/3)³ = 0の時
X = α+β
= 2･³√(-q/2)
 
(q/2)² + (p/3)³ > 0の時
X = α+β
α= ³√[-q/2+√{(q/2)² + (p/3)³}]
β= ³√[-q/2-√{(q/2)² + (p/3)³}]
 
(q/2)² + (p/3)³ < 0の時
 
a = -q/2
b = (q/2)² + (p/3)³ と置くと
α= ³√(a+bi)
β= ³√(a-bi)
 
xⁿ = a+biの解は
x = |a+bi|^1/n{cos((2πk+p)/n) + isin((2πk+p)/n)}
(p = Tan^-1(b/a), k = 0～n-1の整数)
(ただし、Tan^-1(正/0)=π/2,Tan^-1(負/0)=-π/2とする)
|a+bi|² = (a+bi)² = a² + 2abi - b² 
|a-bi|² = (a-bi)² = a² - 2abi - b² 
cosθ=cos(-θ)、sinθ=-sin(-θ)、-p = Tan^-1(-b/a)
より
x = |a-bi|^1/n{cos((2πk+p)/n) - isin((2πk+p)/n)}
また
|a+bi|² = (a+bi)(a-bi) = a²+b² 
= (a-bi)(a+bi) = |a-bi|² 
よって
 
X = α+β= ³√(a+bi) + ³√(a-bi)
= |a+bi|^1/n{cos((2πk+p)/n)
(p = Tan^-1(b/a), k = 0～n-1の整数)
= (a²+b²)^1/2n{cos(Tan^-1(b/a)/n)
 
このＸからxを求めた値がuになる