N88-BASICで3次方程式 (1回目)

2021/10/7(木)

N88-BASICで3次方程式 (1回目)
 
ax³ + bx² + cx + d = 0を解く
 
変形
B = b/a, C = c/a, D = d/aと置くと
x³ + Bx² + Cx + D = 0
(x + B/3)³ + (C - B²/3)x + D - (B/3)³ = 0
 
X = x + B/3と置くと、x = X - B/3
X³ + (C - B²/3)(X - B/3) + D - (B/3)³ = 0
X³ + (C - B²/3)X - CB/3 + B³/9 + D - (B/3)³ = 0
X³ + (C - B²/3)X + D - CB/3 + 2(B/3)³ = 0
よって
 
p = C - B²/3 = (3ac - b²)/(3a²)
q = D - CB/3 + 2(B/3)³ = (3³a²d - 3²abc + 2b³)/(3a)³ 
x = X - B/3 = X - b/(3a)
と置くと
ax³ + bx² + cx + d = 0は
X³ + pX + q = 0
と変形できるので
 
x³ + px + q = 0の形の3次方程式
をカルダノの公式で解きます
 
x = u + vと置くと
(u + v)³ + p(u + v) + q = 0
u³ + v³ + 3uv(u + v) + p(u + v) + q = 0
u³ + v³ + q + (3uv + p)(u + v) = 0
u³ + v³ + q = 0かつ(3uv + p)(u + v) = 0
 
u + v = 0の時
u = -vをu³ + v³ + q = 0に代入すると
-v³ + v³ = -q = 0よりq = 0となる
q = 0の時u³ + v³ + q = 0は
u³ = -v³ となり、u = -vを含んでいます
つまりu + v = 0はu³ + v³ + q = 0に
含まれているので無視し
u³ + v³ + q = 0かつ3uv + p = 0
変形してu³ + v³ = -q , u³v³ = (-p/3)³ 
となるu,vを考えます
 
t = u³ , v³ となる2次方程式は
(t - u³)(t - v³)
= t² - (u³ + v³)t + u³v³ 
= t² + qt - (p/3)³ = 0より
t = {-q±√(q² + 4(p/3)³}/2
　= -q/2±√{(q/2)² + (p/3)³}
 
α= ³√[-q/2+√{(q/2)² + (p/3)³}]
β= ³√[-q/2-√{(q/2)² + (p/3)³}]
(α,βは実数同士または共役複素数)
と置くと
uとvは可換なのでどちらでもよく
u = α, αω, αω² 
v = β, βω, βω² 
 
x = u + vの組合わせは
3次方程式の解xの少なくとも1つは
実数なので、
和が実数となる共役複素数のペア
u + v = α+β,αω+βω,αω²+βω² 
のうち、代表でα+βを選んで
他は捨てるとします
α,β以外で共役とならないペアは
αω+βω²,αω²+βωとなります
(a+biとa-biを互いに共役複素数という)
 
3つの解を
x = α+β,αω+βω²,αω²+βω
a = α+β, b = αω+βω², c = αω²+βω
と仮定すると、これが解となる方程式は
(x - a)(x - b)(x - c)
= (x - a)(x² - (b+c)x + bc)
= x³ - (b+c)x² + bcx - ax² + (b+c)ax - abc
= x³ - (a+b+c)x² + (ab + bc + ca)x - abc
 
ω={-1+√(3)i}/2, ω²={-1-√(3)i}/2, ω³=1
 
a+b+c = α+β+αω+βω²+αω²+βω
　　　= (α+β)(1+ω+ω²) = (α+β)(1-1) = 0
ab = (α+β)(αω+βω²)
　 = α²ω+αβω²+αβω+β²ω² 
　 = α²ω-αβ+β²ω² 
bc = (αω+βω²)(αω²+βω)
　 = α²+αβω²+αβω+β² 
　 = α²-αβ+β² 
ca = (αω²+βω)(α+β)
　 = α²ω²+αβω²+αβω+β²ω
　 = α²ω²-αβ+β²ω
ab + bc + ca = -3αβ
abc = (α+β)(αω+βω²)(αω²+βω)
　　= (α+β)(α²-αβ+β²)
　　= α³-α²β+αβ²+α²β-αβ²+β³ 
　　= α³+β³ 
また
u³ + v³ = -q , uv = -p/3
でしたので
α³+β³ = -q , αβ = -p/3
となるので
 
(x - a)(x - b)(x - c)
= x³ - (a+b+c)x² + (ab + bc + ca)x - abc
= x³ - 3αβx - (α³+β³)
= x³ +px + qとなります
 
x³ + px + q = 0を因数分解すると
{x - (α+β)}{x - (αω+βω²)}{ x - (αω²+βω)}=0
となるので解は
x = α+β, αω+βω², αω²+βω
α= ³√[-q/2+√{(q/2)² + (p/3)³}]
β= ³√[-q/2-√{(q/2)² + (p/3)³}]
(α,βは実数同士または共役複素数)
となる
 
(q/2)² + (p/3)³ < 0の時、三乗根の中身は虚数に
なるので、複素数の三乗根の求め方で
求める必要があります
詳しくは
https://ulprojectmail.blogspot.com/2021/10/n88-basicn-3.html
N88-BASICでn乗の解 (3回目)
を参照して下さい
 
xⁿ = a+biの解は
x = |a+bi|^1/n{cos((2πk+p)/n) + isin((2πk+p)/n)}
(p = Tan^-1(b/a), k = 0～n-1の整数)
(ただし、Tan^-1(正/0)=π/2,Tan^-1(負/0)=-π/2とする)
n=3,a=1,b=0,k=0の時x = ω⁰ = 1
n=3,a=1,b=0,k=1の時x = ω  = {-1+√(3)i}/2
n=3,a=1,b=0,k=2の時x = ω² = {-1-√(3)i}/2
です
 
uR = Re u, uI = Im u
vR = Re v, vI = Im v
2uω = (uR+uIi)(-1+√(3)i)
= -uR - uI√3) + ( uR√3 - uI)i
2vω² = (vR+vIi)(-1-√(3)i)
= -vR + vI√3) + (-vR√3 - vI)i
 
2(uω+vω²)
= -  (uR+vR)    - (uI-vI)√3
　+{ (uR-vR)√3 - (uI+vI)   }i
2(uω²+vω)
= -  (uR+vR)    + (uI-vI)√3
　+{-(uR-vR)√3 - (uI+vI)   }i
 
R1 = (uR+vR)/2, R2 = {(uR-vR)√3}/2
I1 = (uI+vI)/2, I2 = {(uI-vI)√3}/2
u + v = (uR+vR) + (uI+vI)i
uω+vω² = -R1-I2 + ( R2-I1)i
uω²+vω = -R1+I2 + (-R2-I1)i
 
以上で、解を計算することができそうです
(証明になっていないと思いますので不安は
残りますが、一応これでプログラムを作りました
不具合があるかもしれませんがご了承下さい)

3次方程式の例
x = -1.5, 1+i, 1-iを解に持つ3次方程式は
{x-(-1.5)}{x-(1+i)}{x-(1-i)} = 0
2(x+1.5)(x-1 - i)(x-1 + i) = 0 (両辺2倍)
(2x+3){(x-1)²-i²} = 0
(2x+3)(x²-2x+1 + 1) = 0
(2x+3)(x²-2x+2) = 0
2x³-4x²+4x + 3x²-6x+6 = 0
2x³-x²-2x+6 = 0

NL-BASICとblg～.zip(cubi001.bas)は
このブログ(以下のリンク)からダウンロードできます

https://ulprojectmail.blogspot.com
Readme.txtを読んで遊んで下さい