日食の明るさの割合

2023/2/10(日)
日食の明るさの割合
 
蝕(Eclipse)

太陽が月によって隠されていない部分の割合を
太陽と月の中心間距離から求める事で、
日食による太陽の明るさの割合pを推測しようと思います
(あくまで目安です)
 
 
半径Rの円R(太陽)と半径rの円r(月)があり
中心間距離をdとする
 
円rに隠された円Rの見えている部分の割合を求める
 

 

図1. 二円の重なり部分(灰色)　 図2. 二円の重なりの一部(黒色)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　c = √(R² - a²) = √(R² - b²)
 
(1)
図2.において
U = 扇×2(白色) + 三角×2(灰色) と置いて
T = 1/2円 - U
(黒色)の面積を求めます
 
扇×2(白色) = πR²{θ/(2π)}×2 = R²θ
= R²Tan^-1(a/c)
三角×2(灰色) = (1/2)ac×2 = ac
 
U = R²Tan^-1(a/c) + ac
T = πR²/2 - R²Tan^-1(a/c) - ac
となる
 
 
(2)
図1.の灰色部分の右半分であるTは
T = πR²/2 - R²Tan^-1(a/c) - ac
となったので
左半分をT'とすると
R→r、a→b
に置き換えればよいので
T'= πr²/2 - r²Tan^-1(b/c) - bc
となり
図1.の灰色部分Sは
S = T + T'
= πR²/2 - R²Tan^-1(a/c) - ac
+ πr²/2 - r²Tan^-1(b/c) - bc
= (π/2)(R² + r²) - R²Tan^-1(a/c) - r²Tan^-1(b/c) - cd
となる
 
 
(3)
図1.の灰色部分SをR,r,dのみで表す
つまり
a,b,cをR,r,dで表す
b = d - a
 
      a²  + c² = R² 
-) (d-a)² + c² = r² 
    2ad - d² = R² - r² 
より
 
a = (R² - r² + d²)/(2d)
b = d - a
c = √(R² - a²)
S = (π/2)(R² + r²) - R²Tan^-1(a/c) - r²Tan^-1(b/c) - cd
 
 
(4)
円Rの隠れていない部分の割合p
を求める
円Rの面積は πR² なので
 
p = (πR² - S)/(πR²) = {1/(πR²)}(πR² - S)
= {1/(πR²)}[πR² - {(π/2)(R² + r²)
- R²Tan^-1(a/c) - r²Tan^-1(b/c) - cd}]
= {1/(πR²)}{(π/2)(R² - r²)
+ R²Tan^-1(a/c) + r²Tan^-1(b/c) + cd}
 
 
(5)
結論
a = (R² - r² + d²)/(2d)
b = d - a
c = √(R² - a²)  [ = √(r² - b²) ]
円Rの隠れていない部分の割合pは
p = [ {(π/2)(R² - r²) + cd + r²Tan^-1(b/c)} / R² 
+ Tan^-1(a/c) ] / π
(ただし、c² = R² - a² ≦ 0 の時は p = 1)
となる
 
 
以下余談
 
(6)
ちなみに
Uを積分で解くと
U = 2∫√(R² - x²) dx [x = 0～a]
= 2R∫√{1 - (x/R)²} dx
 
x = Rsinθと置くと、dx = Rcosθdθ
x = 0 → Rsinθ = 0 より θ = Sin^-1(0/R) = 0
x = a → Rsinθ = a より θ = Sin^-1(a/R)
 
U = 2R∫√(1 - sin²θ)･Rcosθdθ [θ = 0～Sin^-1(a/R)]
= 2R∫√(cos²θ)･Rcosθdθ
= 2R²∫cos²θdθ
= 2R²/2∫(1 + cos2θ) dθ
= R²[θ + (1/2)sin2θ]
= R²[θ + sinθcosθ] [θ = 0～Sin^-1(a/R)]
= R²{Sin^-1(a/R) + (a/R)√(R²-a²)/R}
= R²Sin^-1(a/R) + a√(R²-a²)
= R²Sin^-1(a/R) + ac
= R²Tan^-1(a/c) + ac
となる
 
Sin^-1(x) = Tan^-1(x/√(1-x²))より
a/R → (a/R)/√(1-a²/R²)
= (a/R)/{√(R²-a²)/R} = a/√(R² - a²)
= a/cなので
Sin^-1(a/R) = Tan^-1(a/c)
 
 
(7)
三角関数
cos²θ+sin²θ = 1
1 - sin²θ = cos²θ
 
sin2θ = sinθcosθ+cosθsinθ = 2sinθcosθ
 
cos2θ = cosθcosθ - sinθsinθ
= cos²θ - sin²θ = cos²θ - (1 - cos²θ)
= 2cos²θ - 1
2cos²θ = 1 + cos2θ
 
{(1/2)sin2θ}' = cos2θ
 
x = sinθ、y = tanθと置くと
θ = Sin^-1(x) = Tan^-1(y)
sin²θ + cos²θ = 1
sin²θ/sin²θ + cos²θ/sin²θ = 1/sin²θ
1 + 1/tan²θ = 1/sin²θ
1/tan²θ = (1 - sin²θ)/sin²θ
tanθ = sinθ/√(1 - sin²θ)
y = x/√(1-x²)
Sin^-1(x) = Tan^-1(x/√(1-x²))