量子力学 (3回目)

2023/5/7(日)
量子力学 (3回目)
 
(Quantum mechanics)
 
今回は井戸型ポテンシャルの解です
 
時間依存しない(定常状態)
シュレディンガー方程式の階
 
■ 微分方程式の解
(∂²/∂x²)φ(x) = -k²φ(x)
 
aexp{i(kx+b)} = exp(ib)aexp(ikx) = Aexp(ikx)
なので微分して定数項kが出ているので
φ(x) = Cexp(ikx) + Dexp(-ikx)と置くと
 
(∂²/∂x²)φ(x)
= (ik)²Cexp(ikx) + (-ik)²Dexp(-ikx)
= -k²{Cexp(ikx) + Dexp(-ikx)}
= -k²φ(x)
となり、解であると分かる
 
オイラーの公式より
φ(x) = Cexp(ikx) + Dexp(-ikx)
= C{cos(kx)+isin(kx)}+D{cos(-kx)+isin(-kx)}
= C{cos(kx)+isin(kx)}+D{cos(kx)-isin(kx)}
= (C+D)cos(kx)+(C-D)isin(kx)
ここでB = C+D、A = (C-D)iと置き直すと
 
φ(x) = Bcos(kx) + Asin(kx)
となる
 
 
 
■ 記号
t :時間(s)
x :位置(m)
x :位置ベクトル(m)
m :質量(kg)
E :エネルギー(J)
h :プランク定数(6.62607015×10^-34J･s)
ℏ :ディラック定数 [ℏ = h / (2π)]
φ(x):時間を含まない波動関数
V(x):ポテンシャルエネルギー
H :ハミルトニアン
∇:ナブラ [∇ = (∂/∂x)]
L :井戸の底の長さ(m)
 
時間を含まない1次元のシュレディンガー方程式
[{-ℏ²/(2m)}(∂²/∂x²) + V(x)]φ(x) = Eφ(x)
 
 
 
■ 井戸型ポテンシャル
底の長さLの井戸(両壁の高さが∞)
 
▼ x < 0, x > L のとき
V(x) = ∞
φ(x) = 0 … 存在確率|φ(x)|² = 0
 
▼ 0 ≦ x ≦ L のとき
V(x) = 0
{-ℏ²/(2m)}(∂²/∂x²)φ(x) = Eφ(x)
 
(∂²/∂x²)φ(x) = (-2mE/ℏ²)φ(x)
k = √(2mE/ℏ²) … (E ≧ 0)
と置くと
(∂²/∂x²)φ(x) = -k²φ(x)
上記微分方程式の解より
φ(x) = Bcos(kx)+Asin(kx)
 
▼ 連続性を保つ
φ(x) = 0 … (x < 0, x > L)より
φ(0) = 0、φ(L) = 0 でなければならない
 
φ(0) = Bcos(k･0)+Asin(k･0) = 0
Bcos0 = 0よりB = 0なので
φ(x) = Asin(kx)
 
φ(L) = Asin(k･L) = 0
k･L = πn … (n = 1,2,3,…)
k = nπ/L
 
k² = (2mE)/ℏ² 
E = k²ℏ²/(2m) = n²ℏ²π²/(2mL²)
φ(x) = Bsin{(nπ/L)x}
 
よって
E_n = n²ℏ²π²/(2mL²)
φ_n(x) = Bsin{(nπ/L)x}
(n = 1,2,3,…)
 
 
 
■ 規格化
|φ_n(x)|²は存在確率を表し
全確率の総和が1になるので
∫|φ_n(x)|²dx = 1 … [x=-∞～∞]
となる
|φ_n(x)|² = 0(x < 0 , x > L)より
 
∫|φ_n(x)|²dx [x=0～L]
= ∫|Bsin{(nπ/L)x}|²dx
= |B|²∫sin²{(nπ/L)x}dx
 
cos(θ+θ) = cos²θ - sin²θ
= (1 - sin²θ) - sin²θ
= 1 - 2sin²θ
sin²θ = (1 - cos2θ)/2
 
|B|²∫sin²{(nπ/L)x}dx
= |B|²∫[1 - cos{(2nπ/L)x}]/2 dx
= |B|²[x/2 + L/(2nπ)sin{(2nπ/L)x}/2]
= |B|²[L/2 + L/(4nπ)sin{(2nπ/L)L}]
= |B|²[L/2 + L/(4nπ)sin(2nπ)]
= |B|²L/2 = 1
B = √(2/L)
 
 
 
■ まとめ
E_n = n²ℏ²π²/(2mL²)
φ_n(x) = √(2/L)･sin{(nπ/L)x}
(n = 1,2,3,…)