極座標 (3回目)

2023/6/12(月)
極座標 (3回目)
 
位置と∇の外積の2乗の極座標表記
の導出
 
■ 導出
▼ r × ∇
r = (x, y, z)
∇ = ∂/∂x = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
r × ∇ = (X, Y, Z) =
{y(∂/∂z)-z(∂/∂y)
,z(∂/∂x)-x(∂/∂z)
,x(∂/∂y)-y(∂/∂z)}
 
ベクトルの外積は
https://ulprojectmail.blogspot.com/2022/03/n88-basicvector-2.html
N88-BASICでベクトル (2回目)
または
https://ulprojectmail.blogspot.com/2021/06/n88-basicmatrix-2.html
N88-BASICで行列(matrix) (2回目)
 
▼ r × ∇ の極座標表記
x = rsinθcosφ
y = rsinθsinφ
z = rcosθ
 
ナブラ
∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) =
{sinθcosφ(∂/∂r)+cosθcosφ/r(∂/∂θ)-sinφ/(rsinθ)(∂/∂φ)
,sinθsinφ(∂/∂r)+cosθsinφ/r(∂/∂θ)+cosφ/(rsinθ)(∂/∂φ)
,cosθ(∂/∂r)-sinθ/r(∂/∂θ)}
 
(d/dt)tant = tan²t + 1
 
導出は
https://ulprojectmail.blogspot.com/2021/06/n88-basicmatrix-2.html
極座標 (1回目)
 
X = y(∂/∂z)-z(∂/∂y)
 
= rsinθsinφ{cosθ(∂/∂r)-sinθ/r(∂/∂θ)}
- rcosθ{sinθsinφ(∂/∂r)+cosθsinφ/r(∂/∂θ)
+ cosφ/(rsinθ)(∂/∂φ)}
 
= rsinθsinφcosθ(∂/∂r)-sinφsin²θ(∂/∂θ)
- rcosθsinθsinφ(∂/∂r)-cos²θsinφ(∂/∂θ)
- cosθcosφ/sinθ(∂/∂φ)
 
= -sinφsin²θ(∂/∂θ) - cos²θsinφ(∂/∂θ)
- cosθcosφ/sinθ(∂/∂φ)
 
= -sinφ(∂/∂θ)-cosφ/tanθ(∂/∂φ)}
 
 
Y = z(∂/∂x)-x(∂/∂z)
 
= rcosθ{sinθcosφ(∂/∂r)
+cosθcosφ/r(∂/∂θ)-sinφ/(rsinθ)(∂/∂φ)}
-rsinθcosφ{cosθ(∂/∂r)-sinθ/r(∂/∂θ)}
 
= rcosθsinθcosφ(∂/∂r)+cos²θcosφ(∂/∂θ)
- cosθsinφ/sinθ(∂/∂φ)
- rsinθcosφcosθ(∂/∂r) + cosφsin²θ(∂/∂θ)
 
= cos²θcosφ(∂/∂θ) + cosφsin²θ(∂/∂θ)
- cosθsinφ/sinθ(∂/∂φ)
 
= cosφ(∂/∂θ)-sinφ/tanθ(∂/∂φ)
 
 
Z = x(∂/∂y)-y(∂/∂z)
 
= rsinθcosφ{sinθsinφ(∂/∂r)
+cosθsinφ/r(∂/∂θ)+cosφ/(rsinθ)(∂/∂φ)}
- rsinθsinφ{sinθcosφ(∂/∂r)
+cosθcosφ/r(∂/∂θ)-sinφ/(rsinθ)(∂/∂φ)}
 
= rsin²θcosφsinφ(∂/∂r)
+sinθcosφcosθsinφ(∂/∂θ)+cos²φ(∂/∂φ)
-rsin²θsinφcosφ(∂/∂r)
-sinθsinφcosθcosφ(∂/∂θ)+sin²φ(∂/∂φ)
 
= cos²φ(∂/∂φ)+sin²φ(∂/∂φ)
= (∂/∂φ)
 
X = -sinφ(∂/∂θ)-cosφ/tanθ(∂/∂φ)
Y =  cosφ(∂/∂θ)-sinφ/tanθ(∂/∂φ)
Z = (∂/∂φ)
 
 
▼ |r × ∇|² 
 
(d/dt)tant = (d/dt)sint/cost
 
r × ∇ = (X, Y, Z)
|r × ∇|² = (r × ∇)･(r × ∇)
= X² + Y² + Z² 
 
= sinφ(∂/∂θ){sinφ(∂/∂θ)}
+ cosφ/tanθ(∂/∂φ){sinφ(∂/∂θ)}
+ sinφ(∂/∂θ){cosφ/tanθ(∂/∂φ)}
+ cosφ/tanθ(∂/∂φ){cosφ/tanθ(∂/∂φ)}
 
+ cosφ(∂/∂θ){cosφ(∂/∂θ)}
- sinφ/tanθ(∂/∂φ){cosφ(∂/∂θ)}
+ cosφ(∂/∂θ){-sinφ/tanθ(∂/∂φ)}
+ sinφ/tanθ(∂/∂φ){sinφ/tanθ(∂/∂φ)}
 
+ (∂/∂φ)(∂/∂φ)
 
 
= sinφ{(∂/∂θ)sinφ(∂/∂θ)+sinφ(∂²/∂θ²)}
+ cosφ/tanθ{(∂/∂φ)sinφ(∂/∂θ)+sinφ(∂²/∂φ∂θ)}
+ sinφ
{(∂/∂θ)cosφ/tanθ(∂/∂φ)+cosφ/tanθ(∂²/∂θ∂φ)}
+ cosφ/tanθ
{(∂/∂φ)cosφ/tanθ(∂/∂φ)+cosφ/tanθ(∂²/∂φ²)}
 
+ cosφ{(∂/∂θ)cosφ(∂/∂θ)+cosφ(∂²/∂θ²)}
- sinφ/tanθ{(∂/∂φ)cosφ(∂/∂θ)+cosφ(∂²/∂φ∂θ)}
+ cosφ
{-(∂/∂θ)sinφ/tanθ(∂/∂φ)-sinφ/tanθ(∂²/∂θ∂φ)}
+ sinφ/tanθ
{(∂/∂φ)sinφ/tanθ(∂/∂φ)+sinφ/tanθ(∂²/∂φ²)}
 
+ (∂²/∂φ²)
 
 
= sinφ{sinφ(∂²/∂θ²)}
+ cosφ/tanθ{cosφ(∂/∂θ)+sinφ(∂²/∂φ∂θ)}
+ sinφ
{-cosφ(tan²θ + 1)/tan²θ(∂/∂φ)+cosφ/tanθ(∂²/∂θ∂φ)}
+ cosφ/tanθ
{-sinφ/tanθ(∂/∂φ)+cosφ/tanθ(∂²/∂φ²)}
 
+ cosφ{cosφ(∂²/∂θ²)}
- sinφ/tanθ{-sinφ(∂/∂θ)+cosφ(∂²/∂φ∂θ)}
+ cosφ
{sinφ(tan²θ+1)/tan²θ(∂/∂φ)-sinφ/tanθ(∂²/∂θ∂φ)}
+ sinφ/tanθ
{cosφ/tanθ(∂/∂φ)+sinφ/tanθ(∂²/∂φ²)}
 
+ (∂²/∂φ²)
 
 
= sin²φ(∂²/∂θ²)
+ cos²φ/tanθ(∂/∂θ)
+ cosφsinφ/tanθ(∂²/∂φ∂θ)
- sinφcosφ(tan²θ+1)/tan²θ(∂/∂φ)
+ sinφcosφ/tanθ(∂²/∂θ∂φ)
- cosφsinφ/tan²θ(∂/∂φ)
+ cos²φ/tan²θ(∂²/∂φ²)
 
+ cos²φ(∂²/∂θ²)
+ sin²φ/tanθ(∂/∂θ)
- sinφcosφ/tanθ(∂²/∂φ∂θ)
+ cosφsinφ(tan²θ+1)/tan²θ(∂/∂φ)
- cosφsinφ/tanθ(∂²/∂θ∂φ)
+ sinφcosφ/tan²θ(∂/∂φ)
+ sin²φ/tan²θ(∂²/∂φ²)
 
+ (∂²/∂φ²)
 
 
= sin²φ(∂²/∂θ²)
+ cos²φ(∂²/∂θ²)
+ cos²φ/tanθ(∂/∂θ)
+ sin²φ/tanθ(∂/∂θ)
+ sinφcosφ/tanθ(∂²/∂θ∂φ)
- cosφsinφ/tanθ(∂²/∂θ∂φ)
+ cosφsinφ/tanθ(∂²/∂φ∂θ)
- sinφcosφ/tanθ(∂²/∂φ∂θ)
- sinφcosφ(tan²θ+1)/tan²θ(∂/∂φ)
+ cosφsinφ(tan²θ+1)/tan²θ(∂/∂φ)
- cosφsinφ/tan²θ(∂/∂φ)
+ sinφcosφ/tan²θ(∂/∂φ)
+ cos²φ/tan²θ(∂²/∂φ²)
+ sin²φ/tan²θ(∂²/∂φ²)
+ (∂²/∂φ²)
 
= (∂²/∂θ²)+(1/tanθ)(∂/∂θ)+(1/tan²θ+1)(∂²/∂φ²)
 
1/tan²θ+1 = (cos²θ+sin²θ)/sin²θ = 1/sin²θ
 
(∂²/∂θ²)+(1/tanθ)(∂/∂θ)
= (cosθ/sinθ)(∂/∂θ) + (∂²/∂θ²)
= (1/sinθ){cosθ(∂/∂θ) + sinθ(∂²/∂θ²)}
= (1/sinθ){(∂/∂θ)sinθ(∂/∂θ) + sinθ(∂²/∂θ²)}
= (1/sinθ)(∂/∂θ){sinθ(∂/∂θ)}
 
より
|r × ∇|² 
= (∂²/∂θ²)+(1/tanθ)(∂/∂θ)+(1/tan²θ+1)(∂²/∂φ²)
= (1/sinθ)(∂/∂θ){sinθ(∂/∂θ)}+(1/sin²θ)(∂²/∂φ²)
 
 
■ 結果
▼ r × ∇
r = (x, y, z)
∇ = ∂/∂x = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
r × ∇ =
{y(∂/∂z)-z(∂/∂y)
,z(∂/∂x)-x(∂/∂z)
,x(∂/∂y)-y(∂/∂z)}
 
▼ |r × ∇|² 
|r × ∇|² =
(1/sinθ)(∂/∂θ){sinθ(∂/∂θ)}+(1/sin²θ)(∂²/∂φ²)