極座標 (4回目)

2023/7/7(金)
極座標 (4回目)
 
極座標の基底ベクトルの導出

以下、ベクトルeは太字でeと表記する
 
■ 導出
▼ 極座標の基底ベクトル(後記解の別解)
x = rsinθcosφ
y = rsinθsinφ
z = rcosθ
より
 
r = (x, y, z) = (rsinθcosφ, rsinθsinφ, rcosθ)
 
e_rはr と向きが同じで大きさが1のベクトルなので
e_r = r/r = (sinθcosφ, sinθsinφ, cosθ)
|e_r| = |r/r| = |r|/r = 1
 
e_θはrをθ方向に+90ﾟ回転したベクトルなので
θをθ+90ﾟに置換えて
e_θ = (rsin(θ+90ﾟ)cosφ, rsin(θ+90ﾟ)sinφ, rcos(θ+90ﾟ))
= (rcosθcosφ, rcosθsinφ, -rsinθ)
|e_θ| = √{r²cos²θcos²φ + r²cos²θsin²φ + (-r)²sin²θ}
= r√{cos²θ(cos²φ + sin²φ) + sin²θ}
= r√(cos²θ + sin²θ) = r
 
e_φはrをφ方向に+90ﾟ回転したベクトルで
φをφ+90ﾟに置換えてz方向の傾きは0なので
e_φ = (rsinθcos(φ+90ﾟ), rsinθsin(φ+90ﾟ), 0)
= (-rsinθsinφ, rsinθcosφ, 0)
|e_φ| = √{(-r)²sin²θsin²φ + r²sin²θcos²φ}
= rsinθ√(sin²φ + cos²φ) = rsinθ
 
この基底ベクトルは大きさが1とは限らない
これを座標基底ベクトルといい
単位ベクトルに変換したものを
正規直交基底ベクトルという
 
▼ 極座標の座標変換
反変、共変については
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/07/relativity-3.html
相対性理論 (3回目)
 
下準備
x = rsinθcosφ
∂x/∂r  =   sinθcosφ
∂x/∂θ =  rcosθcosφ
∂x/∂φ = -rsinθsinφ
y = rsinθsinφ
∂y/∂r  =  sinθsinφ
∂y/∂θ = rcosθsinφ
∂y/∂φ = rsinθcosφ
z = rcosθ
∂z/∂r  =   cosθ
∂z/∂θ = -rsinθ
∂z/∂φ =   0
 
基底は共変変換なので
|e_r |   |∂x/∂r  ∂y/∂r  ∂z/∂r ||e_x|
|e_θ| = |∂x/∂θ ∂y/∂θ ∂z/∂θ||e_y|
|e_φ|   |∂x/∂φ ∂y/∂φ ∂z/∂φ||e_z|
|e_r |   |  sinθcosφ  sinθsinφ   cosθ||e_x|
|e_θ| = | rcosθcosφ rcosθsinφ -rsinθ||e_y|
|e_φ|   |-rsinθsinφ rsinθcosφ   0    ||e_z|
この行列をAと置くとA = ^tB^-1となっている
 
座標(反変ベクトル)は反変変換なので
|x|   |∂x/∂r ∂x/∂θ ∂x/∂z||r |
|y| = |∂y/∂r ∂y/∂θ ∂y/∂z||θ|
|z|   |∂z/∂r ∂z/∂θ ∂z/∂z||φ|
|x|   |sinθcosφ  rcosθcosφ -rsinθsinφ||r |
|y| = |sinθsinφ  rcosθsinφ  rsinθcosφ||θ|
|z|   |cosθ      -rsinθ        0         ||φ|
この行列をB^-1と置くとB^-1 = ^tAとなっている
 
下準備
∇ =
|∂r/∂x ∂θ/∂x ∂φ/∂x||∂/∂r |
|∂r/∂y ∂θ/∂y ∂φ/∂y||∂/∂θ|
|∂r/∂z ∂θ/∂z ∂φ/∂z||∂/∂φ|
=
|sinθcosφ cosθcosφ/r -sinφ/(rsinθ)||∂/∂r |
|sinθsinφ cosθsinφ/r  cosφ/(rsinθ)||∂/∂θ|
|cosθ      -sinθ/r      0             ||∂/∂φ|
 
基底は共変変換なので
|e_x|   |∂r/∂x ∂θ/∂x ∂φ/∂x||e_r |
|e_y| = |∂r/∂y ∂θ/∂y ∂φ/∂y||e_θ|
|e_z|   |∂r/∂z ∂θ/∂z ∂φ/∂z||e_φ|
|e_x|   |sinθcosφ  rcosθcosφ -rsinθsinφ||e_r |
|e_y| = |sinθsinφ  rcosθsinφ  rsinθcosφ||e_θ|
|e_z|   |cosθ      -rsinθ        0         ||e_φ|
この行列をA^-1と置くとA^-1 = ^tBとなっている
 
座標(反変ベクトル)は反変変換なので
|r |   |∂r /∂x ∂r /∂y ∂r /∂z||x|
|θ| = |∂θ/∂x ∂θ/∂y ∂θ/∂z||y|
|φ|   |∂φ/∂x ∂φ/∂y ∂φ/∂z||z|
|r |   |sinθcosφ      sinθsinφ      cosθ  ||x|
|θ| = |cosθcosφ/r    cosθsinφ/r   -sinθ/r||y|
|φ|   |-sinφ/(rsinθ) cosφ/(rsinθ)         ||z|
この行列をBと置くとB = ^tA^-1となっている
 
▼ 極座標の座標変換の検証
x = rsinθcosφ
y = rsinθsinφ
z = rcosθ
 
|r |   |sinθcosφ      sinθsinφ      cosθ  ||x|
|θ| = |cosθcosφ/r    cosθsinφ/r   -sinθ/r||y|
|φ|   |-sinφ/(rsinθ) cosφ/(rsinθ)         ||z|
r  = rsin²θcos²φ+rsin²θsin²φ+rcos²θ = r
θ = sinθcosθcos²φ+sinθcosθsin²φ-sinθcosθ
= sinθcosθ(cos²φ+sin²φ-1) = 0
φ = -sinφcosφ+sinφcosφ+0rcosθ = 0
よって
r = (r,θ,φ) = (r, 0, 0) = re_r + 0e_θ + 0e_φ = re_r 
 
|x|   |sinθcosφ  rcosθcosφ -rsinθsinφ||r |
|y| = |sinθsinφ  rcosθsinφ  rsinθcosφ||θ|
|z|   |cosθ      -rsinθ        0         ||φ|
r = (r,θ,φ) = (r, 0, 0)と置いて
|x|   |sinθcosφ  rcosθcosφ -rsinθsinφ||r|
|y| = |sinθsinφ  rcosθsinφ  rsinθcosφ||0|
|z|   |cosθ      -rsinθ        0         ||0|
x = rsinθcosφ
y = rsinθsinφ
z = rcosθ
 
 
■ 結果
▼ 極座標の基底ベクトル
座標基底ベクトルe_αの共変変換
|e_r |   |∂x/∂r  ∂y/∂r  ∂z/∂r ||e_x|
|e_θ| = |∂x/∂θ ∂y/∂θ ∂z/∂θ||e_y|
|e_φ|   |∂x/∂φ ∂y/∂φ ∂z/∂φ||e_z|
|e_r |   |  sinθcosφ  sinθsinφ   cosθ||e_x|
|e_θ| = | rcosθcosφ rcosθsinφ -rsinθ||e_y|
|e_φ|   |-rsinθsinφ rsinθcosφ   0    ||e_z|
|e_x|   |∂r/∂x ∂θ/∂x ∂φ/∂x||e_r |
|e_y| = |∂r/∂y ∂θ/∂y ∂φ/∂y||e_θ|
|e_z|   |∂r/∂z ∂θ/∂z ∂φ/∂z||e_φ|
|e_x|   |sinθcosφ  rcosθcosφ -rsinθsinφ||e_r |
|e_y| = |sinθsinφ  rcosθsinφ  rsinθcosφ||e_θ|
|e_z|   |cosθ      -rsinθ        0         ||e_φ|
 
(反変ベクトルの)座標の反変変換
|r |   |∂r /∂x ∂r /∂y ∂r /∂z||x|
|θ| = |∂θ/∂x ∂θ/∂y ∂θ/∂z||y|
|φ|   |∂φ/∂x ∂φ/∂y ∂φ/∂z||z|
|r |   |sinθcosφ      sinθsinφ      cosθ  ||x|
|θ| = |cosθcosφ/r    cosθsinφ/r   -sinθ/r||y|
|φ|   |-sinφ/(rsinθ) cosφ/(rsinθ)         ||z|
r = (r,θ,φ) = (r, 0, 0) = re_r 
|x|   |∂x/∂r ∂x/∂θ ∂x/∂z||r |
|y| = |∂y/∂r ∂y/∂θ ∂y/∂z||θ|
|z|   |∂z/∂r ∂z/∂θ ∂z/∂z||φ|
|x|   |sinθcosφ  rcosθcosφ -rsinθsinφ||r |
|y| = |sinθsinφ  rcosθsinφ  rsinθcosφ||θ|
|z|   |cosθ      -rsinθ        0         ||φ|
r = (r,θ,φ) = (r, 0, 0) = (x, y, z)
= (rsinθcosφ, rsinθsinφ, rcosθ)
(x,y,z)→(r,θ,φ)を順変換とし
共変変換をA行列、反変変換をB行列とすると
^tA = B^-1 の関係にある
 
座標基底ベクトルe_αの大きさ
|e_r | = 1
|e_θ| = r
|e_φ| = rsinθ
 
正規直交基底ベクトルe'_α(e_αの単位ベクトル)
|e_r | |1 0 0     ||e'_r |
|e_θ|=|0 r 0     ||e'_θ|
|e_φ| |0 0 rsinθ||e'_φ|
|e'_r | |1 0   0         ||e_r |
|e'_θ|=|0 1/r 0         ||e_θ|
|e'_φ| |0 0   1/(rsinθ)||e_φ|
 
▼ 別表記(計量テンソルg^αβとg_αβ)
クロネッカーのδ
δ_α^β = δ^α_β = δ_αβ = δ^αβ 
= (1 if α＝β, 0 if α≠β) 
e_α･e_β = g_αβ = g_βα 
(e_α･e_β)g^βγ = g_αβg^βγ = δ_α^γ 
g^αβ(e_β･e_γ) = g^αβg_βγ = δ^α_γ 
g_αβ = diag(1, r², r²sin²θ)
  |1 0  0       |
= |0 r² 0       |
  |1 0  r²sin²θ|
g^αβ = diag(1, 1/r², 1/(r²sin²θ))
  |1 0    0           |
= |0 1/r² 0           |
  |1 0    1/(r²sin²θ)|
e'_α = √(g^αα)e_α 
 
▼ テンソル
0階のテンソルはスカラー(成分の添字が0個)
1階のテンソルはベクトル(成分の添字が1個)
2階のテンソルは行列(成分の添字が2個g^αβ)
3階のテンソルは(成分の添字が3個)
で表される