相対性理論 (4回目)

2023/7/16(日)
相対性理論 (4回目)
 
(Relativity theory)
アインシュタインの縮約について
 
■ 縮約について
▼ 直交座標系の計量(metric)
η_αβ = diag(-1,1,1,1)
=
|-1 0 0 0 |
| 0 1 0 0 |
| 0 0 1 0 |
| 0 0 0 1 |
つまり
η₀₀ = -1、η₁₁ = η₂₂ = η₃₃ = 1
以外0です
 
ベクトルは太字で表しています
添字(suffix)は上付きと下付きがあり乗数ではない
 
e_α:基底ベクトル(共変ベクトルなので下付き)
x^α:通常ベクトル(反変ベクトルなので上付き)
 
ベクトルx = (x⁰,x¹,x²,x³)
ベクトルx = x^αe_α と書ける
この場合
x^αe_α = Σ[α=0,1,2,3]x^αe_α という意味になり
= x⁰e₀+x¹e₁+x²e₂+x³e₃ となる
(Σを省略する事をアインシュタインの縮約という)
 
3次元空間ならベクトルdxの微小長さdsは
ds² = dx･dx = (dx¹)²+(dx²)²+(dx³)² 
は
ds² = (dx¹)²+(dx²)²+(dx³)² = dx^αdx^α 
と書ける
 
相対性理論 (1回目)より
時間軸の2乗は負になる為
4次元時空間なら
ds² = dx･dx = -(dx⁰)²+(dx¹)²+(dx²)²+(dx³)² 
s² = η_αβdx^αdx^β = η_ααdx^αdx^α 
η_αβ の中身が対角成分しかない場合
η_αα で代用できる
(上付きと下付きは打消し合う)
 
▼ 一般座標系の計量(metric)
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/07/polar-4.html
極座標 (4回目)
 
極座標系など基底ベクトルの
長さが1(単位ベクトル)ではない場合
計量テンソルを使って
g^αβ = diag(1, 1/r², 1/(r²sin²θ))
  |1 0    0           |
= |0 1/r² 0           |
  |1 0    1/(r²sin²θ)|
e'_α = √(g^αα)e_α 
この様に単位ベクトルにすることができる
 
クロネッカーのδ
δ_α^β = δ^α_β = δ_αβ = δ^αβ 
= (1 if α＝β, 0 if α≠β) 
g_αβg^βγ = δ_α^γ 
g^αβg_βγ = δ^α_γ 
の関係があれば
g_αβ と g^βγ または　g^αβ と g_βγ は
逆変換(逆行列)の関係にある
 
http
極座標 (4回目)
参照
 
▼ 簡単な例
|1 2||2| = |4|
|3 1||1|   |7|
は
A^α_βX^β = X'^α 
と書け
X'¹ = A¹₁X¹ + A¹₂X² 
X'² = A²₁X¹ + A²₂X² 
の計算がされる