相対性理論 (5回目)

2023/7/17(月)
相対性理論 (5回目)
 
一般相対性理論
(General relativity theory)
 
測地線の方程式の導出
 
■ 導出
▼ 測地線の方程式
x'^α:局所慣性系座標
x^α:一般慣性系座標
 
F^α = d²x'^α/dτ² 
力F^α = 0なら
d²x'^α/dτ² = 0
dx'^α/dτ = const. (一定)
より
dx'^α/dτ = x'^α/τ = const.
 
x'^α = (∂x'^α/∂x'^β)x'^β … 反変変換
x'^α/τ = (∂x'^α/∂x'^β)(x'^β/τ)
 
d²x'^α/dτ² = (d/dτ)(x'^α/τ) = 0
= (d/dτ){(∂x'^α/∂x'^β)(x'^β/τ)}
= {(d/dτ)(∂x'^α/∂x'^β)}(x'^β/τ)
+ (∂x'^α/∂x'^β){(d/dτ)(x'^β/τ)}
= {(d/dτ)(∂X'^α/∂X'^β)}(X'^β/τ)
= {(∂/∂x'^β)(dx'^α/dτ)}(dx'^β/dτ)
… 局所慣性系x'^αのすべてが微分表記に
なっているため一般座標系X^αに置き換えても
問題ない
{(∂/∂x'^β)(dx'^α/dτ)}(dx'^β/dτ)
= {(∂/∂x^β)(dx^α/dτ)}(dx^β/dτ) = 0
 
∇_βV = (∂/∂x^β)V = {(∂/∂x^β)V^α + V^γΓ^α_γβ}e_α 
 
導出は
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/07/christoffel-1.html
クリストッフェル記号 (1回目)
より
∇_βV^α = (∂/∂x^β)V^α = (∂/∂x^β)V^α + V^γΓ^α_γβ 
 
{(∂/∂x^β)(dx^α/dτ)}(dx^β/dτ)
= {(∂/∂x^β)(dx^α/dτ) + (dx^γ/dτ)Γ^α_γβ}(dx^β/dτ)
= {(∂/∂x^β)(dx^α/dτ) + (dx^γ/dτ)Γ^α_γβ}(dx^β/dτ)
= (∂/∂x^β)(dx^β/dτ)(dx^α/dτ)
+ Γ^α_γβ(dx^γ/dτ)(dx^β/dτ)
= (d/dτ)(dx^α/dτ) + Γ^α_γβ(dx^γ/dτ)(dx^β/dτ)
= (d²x^α/dτ²) + Γ^α_γβ(dx^γ/dτ)(dx^β/dτ)
= (d²x^γ/dτ²) + Γ^γ_αβ(dx^α/dτ)(dx^β/dτ)
= 0
 
(d²x^γ/dτ²) + Γ^γ_αβ(dx^α/dτ)(dx^β/dτ) = 0
(d²x^γ/dτ²) = -Γ^γ_αβ(dx^α/dτ)(dx^β/dτ)
力が働いていないのに加速度が生じているので
右辺は重力を意味すると思われます
 
 
■ 結果
▼ 測地線の方程式
(d²x^γ/dτ²) + Γ^γ_αβ(dx^α/dτ)(dx^β/dτ) = 0
右辺は外力
 
加速度
(d²x^γ/dτ²) = -Γ^γ_αβ(dx^α/dτ)(dx^β/dτ)
右辺は重力を意味する