クリストッフェル記号 (1回目)

2023/7/9(日)
クリストッフェル記号 (1回目)
 
(Christoffel symbols)
 
クリストッフェル記号Γ^γ_αβの
極座標表記を求める
 
■ 定義
▼ 表記
以後、ベクトルは太字で表す
ナブラ∇ = (∂/∂x¹,∂/∂x²,∂/∂x³)を
∇_β = (∂/∂x^β)と書く事にする
反辺ベクトル
V = (V¹,V²,V³) = V¹e₁ + V²e₂ + V³e₃ 
= Σ[α=1,2,3]V^αe_α = V^αe_α 
(基底ベクトルe_α)
(上付きはべき乗ではなく添字です)
(アインシュタインの縮約でΣ記号を省略)
 
▼ 反変ベクトルV の共変微分∇_βV 
クリストッフェル記号Γ^γ_αβ を使って
Γ^γ_αβe_γ = (∂/∂x^β)e_α = ∇_βe_α と置く
 
∇_βV = (∂/∂x^β)V 
= (∂/∂x^β)(V^αe_α)
= {(∂/∂x^β)V^α}e_α + V^α{(∂/∂x^β)e_α}
= {(∂/∂x^β)V^α}e_α + V^αΓ^γ_αβe_γ
= {(∂/∂x^β)V^α}e_α + V^γΓ^α_γβe_α … (添字の入替え)
= {(∂/∂x^β)V^α + V^γΓ^α_γβ}e_α 
つまり
∇_βV = (∂/∂x^β)V = (∂/∂x^β)(V^αe_α)
= {(∂/∂x^β)V^α + V^γΓ^α_γβ}e_α 
 
 
■ 導出
▼ 極座標系の微分
Γ^γ_αβe_γ = (∂/∂x^β)e_α = ∇_βe_α 
を求める
 
極座標は
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/06/polar-1.html
極座標 (1回目)
極座標の基底ベクトルは
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/07/polar-4.html
極座標 (4回目)
より
 
|e_r |   |  sinθcosφ  sinθsinφ   cosθ||e_x|
|e_θ| = | rcosθcosφ rcosθsinφ -rsinθ||e_y|
|e_φ|   |-rsinθsinφ rsinθcosφ   0    ||e_z|
つまり
e_r  =   sinθcosφe_x+ sinθsinφe_y+ cosθe_z 
e_θ =  rcosθcosφe_x+rcosθsinφe_y-rsinθe_z 
e_φ = -rsinθsinφe_x+rsinθcosφe_y 
について
(∂/∂x^β)e_α = (∂e_α/∂x^β)を求める
 
(∂e_r /∂r ) = 0
(∂e_θ/∂r ) = cosθcosφe_x+cosθsinφe_y-sinθe_z = e_θ/r
(∂e_φ/∂r ) = -sinθsinφe_x+sinθcosφe_y = e_φ/r
 
(∂e_r /∂θ) = cosθcosφe_x+ cosθsinφe_y-sinθe_z = e_θ/r
(∂e_θ/∂θ) = -rsinθcosφe_x-rsinθsinφe_y-rcosθe_z = -re_r 
(∂e_φ/∂θ) = -rcosθsinφe_x+rcosθcosφe_y = (cosθ/sinθ)e_φ 
 
(∂e_r /∂φ) = -sinθsinφe_x+sinθcosφe_y = e_φ/r
(∂e_θ/∂φ) = -rcosθsinφe_x+rcosθcosφe_y = (cosθ/sinθ)e_φ 
(∂e_φ/∂φ) = -rsinθcosφe_x-rsinθsinφe_y 
 
-rsin²θe_r
= -rsin²θ(sinθcosφe_x+ sinθsinφe_y+ cosθe_z)
= -rsin³θcosφe_x-rsin³θsinφe_y-rsin²θcosθe_z 
 
-sinθcosθe_θ 
= -sinθcosθ(rcosθcosφe_x+rcosθsinφe_y-rsinθe_z)
= -rsinθcos²θcosφe_x-rsinθcos²θsinφe_y+rsin²θcosθe_z 
 
-rsin²θe_r-sinθcosθe_θ 
= -rsin³θcosφe_x-rsin³θsinφe_y-rsin²θcosθe_z 
-rsinθcos²θcosφe_x-rsinθcos²θsinφe_y+rsin²θcosθe_z 
= (-rsin³θcosφ-rsinθcos²θcosφ)e_x 
+(-rsin³θsinφ-rsinθcos²θsinφ)e_y 
= -rsinθcosφ(sin²θ+cos²θ)e_x 
-rsinθsinφ(sin²θ+cos²θ)e_y 
= -rsinθcosφe_x-rsinθsinφe_y 
 
(∂e_φ/∂φ) = -rsinθcosφe_x-rsinθsinφe_y 
= -rsin²θe_r-sinθcosθe_θ 
 
|∂e_r /∂r ∂e_r /∂θ ∂e_r /∂φ|
|∂e_θ/∂r ∂e_θ/∂θ ∂e_θ/∂φ|
|∂e_φ/∂r ∂e_φ/∂θ ∂e_φ/∂φ|
=
|0          e_θ/r              e_φ/r                 |
|e_θ/r  -re_r              (cosθ/sinθ)e_φ       |
|e_φ/r  (cosθ/sinθ)e_φ  -rsin²θe_r-sinθcosθe_θ|
=
| 0        Γ^θ_ｒθe_θ  Γ^φ_ｒφe_φ         |
|Γ^θ_θｒe_θ  Γ^ｒ_θθe_ｒ  Γ^φ_θφe_φ         |
|Γ^φ_φｒe_φ  Γ^φ_φθe_φ  Γ^ｒ_φφe_ｒ+Γ^θ_φφe_θ|
(∂e_α/∂x^β) = Γ^γ_αβe_γ より
 
▼ 極座標系のクリストッフェル記号
クリストッフェル記号の式
Γ^γ_αβe_γ = (∂/∂)e_α = ∇_βe_α 
 
Γ^θ_ｒθe_θ = e_θ/r
Γ^φ_ｒφe_φ = e_φ/r
Γ^θ_θｒe_θ = e_θ/r
Γ^ｒ_θθe_ｒ = -re_ｒ
Γ^φ_θφe_φ = (cosθ/sinθ)e_φ  
Γ^φ_φｒe_φ = e_φ/r
Γ^φ_φθe_φ = (cosθ/sinθ)e_φ 
Γ^ｒ_φφe_ｒ = -rsin²θe_ｒ 
Γ^θ_φφe_θ = -sinθcosθe_θ 
 
クリストッフェル記号
Γ^θ_ｒθ = Γ^φ_ｒφ = Γ^θ_θｒ = Γ^φ_φｒ = 1/r
Γ^φ_θφ = Γ^φ_φθ = cosθ/sinθ
Γ^ｒ_θθ = -r
Γ^ｒ_φφ = -rsin²θ
Γ^θ_φφ = -sinθcosθ
 
 
■ 結果
▼ クリストッフェル記号Γ^γ_αβ 
Γ^γ_αβe_γ = (∂/∂x^β)e_α = ∇_βe_α 
と定義
∇_βV = (∂/∂x^β)V = (∂/∂x^β)(V^αe_α)
= {(∂/∂x^β)V^α}e_α + V^α{(∂/∂x^β)e_α}
= {(∂/∂x^β)V^α}e_α + V^αΓ^γ_αβe_γ
= {(∂/∂x^β)V^α}e_α + V^γΓ^α_γβe_α … (添字の入替え)
= {(∂/∂x^β)V^α + V^γΓ^α_γβ}e_α 
 
▼ 極座標系のクリストッフェル記号
クリストッフェル記号
Γ^γ_αβe_γ = (∂/∂x^β)e_α = ∇_βe_α =
Γ^γ_βαe_γ 
 
Γ^ｒ_θθ = -r
Γ^ｒ_φφ = -rsin²θ
Γ^θ_ｒθ = Γ^θ_θｒ = Γ^φ_ｒφ = Γ^φ_φｒ = 1/r
Γ^θ_φφ = -sinθcosθ
Γ^φ_θφ = Γ^φ_φθ = cosθ/sinθ
 
 
■ 因みに
▼ (x,y,z)座標のクリストッフェル記号
(x,y,z)座標の時は
e_x = (1, 0, 0)
e_y = (0, 1, 0)
e_z = (0, 0, 1)
∇_βV = (∂/∂x^β)V = (∂/∂x^β)(V^αe_α)
= {(∂/∂x^β)V^α + V^γΓ^α_γβ}e_α 
= {(∂/∂x^β)V^α}e_α 
よって
Γ^γ_αβe_γ = Γ^γ_αβ = 0