曲率テンソル (4回目)

2023/8/7(月)
曲率テンソル (4回目)
 
(Curvature tensor)
 
共変微分について
 
 
■ 検討
▼ 1回目より
Rⁿ_m,αβ = -Rⁿ_m,βα 
 
▼ 定義
x',A':デカルト座標系と定ベクトル
x ,A :一般座標系と定ベクトル
(∂/∂x^β)A'_k = 0
 
▼ 共変ベクトルの共変微分
∇_βA_α = (∂/∂x^β)A_α 
= (∂/∂x^β)(∂x'^k/∂x^α)A'_k 
= (∂²x'^k/∂x^β∂x^α)A'_k + (∂x'^k/∂x^α){(∂/∂x^β)A'_k}
= (∂²x'^k/∂x^β∂x^α)A'_k 
= (∂²x'^k/∂x^β∂x^α)(∂xⁱ/∂x'^k)A_i 
 
∇_βA_α = (∂/∂x^β)A_α-(∂²x'^k/∂x^β∂x^α)(∂xⁱ/∂x'^k)A_i 
= 0
と∇_βを定義する
ここで
Γⁱ_αβ = (∂²x'^k/∂x^β∂x^α)(∂xⁱ/∂x'^k)と置くと
∇_βA_α = (∂/∂x^β)A_α - Γⁱ_αβA_i = 0
 
 
▼ 反変ベクトルの共変微分
∇_βA^α = (∂/∂x^β)A^α 
= (∂/∂x^β)(∂x^α/∂x'^k)A'^k 
= (∂²x^α/∂x^β∂x'^k)A'_k + (∂x^α/∂x'^k){(∂/∂x^β)A'^k}
= (∂²x^α/∂x^β∂x'^k)A'_k 
= (∂²x^α/∂x^β∂x'^k)(∂x'^k/∂xⁱ)Aⁱ 
 
(∂/∂x^β){(∂x^α/∂x'^k)(∂x'^k/∂xⁱ)}
= {(∂/∂x^β)(∂x^α/∂x'^k)}(∂x'^k/∂xⁱ)
+ (∂x^α/∂x'^k)(∂/∂x^β)(∂x'^k/∂xⁱ)
より
 
(∂²x^α/∂x^β∂x'^k)(∂x'^k/∂xⁱ)
= {(∂/∂x^β)(∂x^α/∂x'^k)}(∂x'^k/∂xⁱ)
= (∂/∂x^β){(∂x^α/∂x'^k)(∂x'^k/∂xⁱ)}
- (∂x^α/∂x'^k)(∂/∂x^β)(∂x'^k/∂xⁱ)
= (∂/∂x^β)(∂x^α/∂xⁱ)
- (∂x^α/∂x'^k)(∂²x'^k/∂x^β∂xⁱ)
= (∂/∂x^β)δ_αi - (∂x^α/∂x'^k)(∂²x'^k/∂x^β∂xⁱ)
= -(∂x^α/∂x'^k)(∂²x'^k/∂x^β∂xⁱ)
= -(∂²x'^k/∂x^β∂xⁱ)(∂x^α/∂x'^k)
 
∇_βA^α = (∂/∂x^β)A^α+(∂²x'^k/∂x^β∂xⁱ)(∂x^α/∂x'^k)
= 0
と∇_βを定義する
ここで
Γ^α_iβ = (∂²x'^k/∂x^β∂xⁱ)(∂x^α/∂x'^k)と置くと
∇_βA^α = (∂/∂x^β)A^α + Γ^α_iβAⁱ = 0
また
Γⁱ_αβ = (∂²x'^k/∂x^β∂x^α)(∂xⁱ/∂x'^k)と置くと
∇_βA_α = (∂/∂x^β)A_α - Γⁱ_αβA_i = 0
 
▼ ベクトルの共変微分と曲率テンソル
反変ベクトル
∇_βA^α = (∂/∂x^β)A^α + Γ^α_iβAⁱ = 0
曲率テンソル
R^m_n,αβAⁿ = ∇_α(∇_βA^m) - ∇_β(∇_αA^m)
 
共変ベクトル
∇_βA_α = (∂/∂x^β)A_α - Γⁱ_αβA_i = 0
曲率テンソル
Rⁿ_m,αβA_n = ∇_α(∇_βA_m) - ∇_β(∇_αA_m) 
 
反変ベクトルと共変ベクトルのズレの符号が
逆になっているので
Rⁿ_m,αβ = -R^m_n,αβ 
が成り立つようです
(証明省略)
 
 
■ まとめ
▼ ∇_βの定義
共変ベクトルの共変微分
Γⁱ_αβ = (∂²x'^k/∂x^β∂x^α)(∂xⁱ/∂x'^k)
∇_βA_α = (∂/∂x^β)A_α - Γⁱ_αβA_i = 0
 
反変ベクトルの共変微分
Γ^α_iβ = (∂²x'^k/∂x^β∂xⁱ)(∂x^α/∂x'^k)
∇_βA^α = (∂/∂x^β)A^α + Γ^α_iβAⁱ = 0
 
▼ 曲率テンソルの反対称性
Rⁿ_m,αβ = -Rⁿ_m,βα 
Rⁿ_m,αβ = -R^m_n,αβ