シュワルツシルト半径 (3回目)

2023/8/18(金)
シュワルツシルト半径 (3回目)
 
(Schwarzschild radius)
 
シュワルツシルト半径r_gを求める
 
■ 導出
▼ リッチテンソル
R₀₀ = R^k_0,k0 = e^a-b(a"/2 + a'²/4 - a'b'/4 + a'/r) = 0
R₁₁ = R^k_1,k1 = -a"/2 + a'b'/4 + b'/r - a'²/4 = 0
R₂₂ = R^k_2,k2 = {-1 + (r/2)(b' - a')}e^-b + 1 = 0
R₃₃ = R^k_3,k3 = [{-1 + (r/2)(b' - a')}e^-b + 1]sin²θ = 0
 
▼ 微小不変量と計量
微小不変量
ds² = -e^a(r)(r)dw² + e^b(r)dr² + r²{dθ² + sin²θdφ²}
計量
g_αβ = diag(-e^a(r), e^b(r), r², r²sin²θ)
g^αβ = diag(-e^-a(r), e^-b(r), 1/r², 1/r²sin²θ)
 
▼ 微小不変量を求める
[e^a-b ≠ 0の時]
R₀₀/e^a-b + R₁₁ = 0
= a"/2 + a'²/4 - a'b'/4 + a'/r)
- a"/2 + a'b'/4 + b'/r - a'²/4
= (a' + b')/r = 0
[r ≠ 0の時]
a' + b' = 0
a' = -b'
を
R₂₂ = {-1 + (r/2)(b' - a')}e^-b + 1 = 0
より
{1 - (r/2)(b' - a')}e^-b = 1
に代入
(1 - rb')e^-b = 1
e^-b - rb'e^-b = 1
(re^-b)' = 1
∫(re^-b)'dr = ∫dr
re^-b + r_g = r … (r_gは積分定数)
e^-b = 1 - r_g/r
e^b = 1/(1 - r_g/r)
また、先ほどの
a' + b' = 0
より
∫(a' + b')dr = ∫0dr
a + b = C … (Cは積分定数)
a = C - b
e^a = e^C-b = e^Ce^-b = e^C(1 - r_g/r)
 
ds² = -e^a(r)dw² + e^b(r)dr² + r²{dθ² + sin²θdφ²}
は無限遠では平らな空間になる為
e^a(r) → 1, e^b(r) → 1 (r→∞)
となる為
e^a = e^C(1 - r_g/r) → e^C → 1 (r→∞)
よりC = 0
また
e^b = 1/(1 - r_g/r) → 1 (r→∞)
よって
e^a = 1 - r_g/r
e^b = 1/(1 - r_g/r)
 
ds² = -(1-r_g/r)dw² + 1/(1-r_g/r)dr² + r²dθ² + r²sin²θdφ² 
dw = cdt
g_αβ = diag(-(1-r_g/r), 1/(1-R/r), r², r²sin²θ)
g^αβ = diag(-1/(1-r_g/r), (1-R/r), 1/r², 1/r²sin²θ)
 
▼ r_gを求める
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/07/relativity-6.html
相対性理論 (6回目)
より
ニュートン近似
g₀₀ ≒ η₀₀ + h₀₀ = -1 - (2/c²)φ
また
g_αβ = diag(-(1-r_g/r), 1/(1-r_g/r), r², r²sin²θ)
より
g₀₀ = -(1-r_g/r) = -1 + r_g/r
両者を比較すれば
-(2/c²)φ = r_g/r
φ = -r_gc²/(2r)
ニュートン力学では
φ = -GM/r
より
-r_gc²/(2r) = -GM/r
r_g = 2GM/c² 
 
 
■ 結果
▼ 定義
c:光速度
G:重力定数
M:原点を中心とする重力源の質量
r_g原点を中心とする重力源の半径
r:原点からの距離
r > r_g
▼ 微小不変量
ds² = -(1-r_g/r)(cdt)² + 1/(1-r_g/r)dr² + r²dθ² + r²sin²θdφ² 
 
▼ シュワルツシルト半径
r_g = 2GM/c²