コリオリ力 (2回目)

2023/9/24(日)
コリオリ力 (2回目)
 
(Coriolis force)
 
緯度と重力加速度の方向
 
■ 前提
▼ 定義
F :物体に加える力
F_C :コリオリ力(Coriolis force)
f_C :遠心力(Centrifβgal force)
T:地球の自転周期[86164.098903691(s)]
ω:地球の角速度[2π/T (rad/s)]
R_EE:地球赤道半径[6378.1×10³(m)]
R_PE:地球極　半径[6356.8×10³(m)]
G:重力定数[6.67430×10^-11(Nm²/kg²)]
M:地球質量[5.972×10²⁴(kg)]
R:地球の半径[6367.5×10³(m)北緯45°]
g:重力加速度[g = GM/R² ≒ 9.83077(m/s²)]
(北緯45°の標準重力加速度は正確にg_n = 9.80665 m/s²)
h:高さ(m)[|h|<<|R|つまり|R+h|≒|R|とする)
φ:北緯(rad)[日本の北緯35°, λ東経135°]
 
以後
(x, y) = (上, 北)として
2次元で表し
(a, b) = (R_EE, R_PE)
とする
焦点距離c = √(a²-b²)
離心率e = c/a = √{(a²-b²)/a²} = √(1-b²/a²)
√(1-e²) = √{1-(1-b²/a²)} = b/a
 
▼ 因みに
地球の角速度
ω = 7.29211514670692…×10^-5 rad/s
(15.0410671786702… 度/h)
(902.464030720212… 分/h)
(赤道周り40075km、子午線周り40009km)
(1.852km/海里)(1海里 = 緯度1分)
(1674 km/h = 904 ノット)
(1225km/h = マッハ1 = 標準大気中の音速)
 
 
■ 導出
▼ 各緯度の関係

 
n :P(x,y)の法線(垂直抗力の方向)
φ:地理緯度
Φ:地心緯度
β:パラメトリック緯度(更成緯度)
γ:天文経度(重力が指す方向との角γ≒φ)
 
▼ 各緯度の関係の導出
P'(acosβ, asinβ)
P(x,y) = (acosβ, bsinβ) = r(cosΦ, sinΦ)
 
x = acosβ = rcosΦ
y = bsinβ = rsinΦ
 
y/x = (b/a)tanβ = tanΦ
 
f(x,y) = (x/a)² + (y/b)² - 1 = 0
grad f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)
= (2x/a², 2y/b²)
N = (x/a², y/b²)
tanφ = (y/b²)/(x/a²) = (a²/b²)(y/x)
 
tanφ = (a²/b²)(y/x)
= (a²/b²)(b/a)tanβ = (a²/b²)tanΦ
 
tanφ = (a/b)tanβ = (a²/b²)tanΦ
(b²/a²)tanφ = (b/a)tanβ = tanΦ
 
▼ 各緯度の座標関係の導出
tan²β = sin²β/cos²β
= (1-cos²β)/cos²β = (1/cos²β) - 1
cos²β = 1/(1 + tan²β)
1/tan²β = cos²β/sin²β
= (1-sin²β)/sin²β = (1/sin²β) - 1
1/sin²β = 1/tan²β + 1
sin²β = tan²β/(1 + tan²β)
 
P'(acosβ, asinβ)
P(x,y) = (acosβ, bsinβ) = r(cosΦ, sinΦ)
 
x²+y² = a²cos²β + b²sin²β = r² 
r = √(a²cos²β + b²sin²β)
= √{a²/(1 + tan²β) + b²tan²β/(1 + tan²β)}
= √{(a² + b²tan²β)/(1 + tan²β)}
 
N = (x/a², y/b²) = ((a/a²)cosβ, (b/b²)sinβ)
= ((1/a)cosβ, (1/b)sinβ)
N = √{(1/a)²cos²β + (1/b)²sin²β}
n = (cosφ, sinφ)
 
▼ 重力(万有引力と遠心力)による加速度の方向
r = √(a²cos²β + b²sin²β)
= √{(a² + b²tan²β)/(1 + tan²β)}
r(cosΦ, sinΦ) = (acosβ, bsinβ)
(cosΦ, sinΦ) = (acosβ, bsinβ)/r
N = √{(1/a)²cos²β + (1/b)²sin²β}
n = (cosφ, sinφ) = ((1/a)cosβ, (1/b)sinβ)/N
 
万有引力(universal gravitation)による加速度
g = GM/R² と置くと
a_u = -g(cosΦ, sinΦ) = -(g/r)(acosβ, bsinβ)
 
遠心力による加速度
a_c = ω²(acosβ, 0)
 
重力加速度
g = a_u + a_c 
= -(g/r)(acosβ, bsinβ) + ω²(acosβ, 0)
= -((g/r - ω²)acosβ, (g/r)bsinβ)
 
地理緯度φ
n = (cosφ, sinφ) = ((1/a)cosβ, (1/b)sinβ)/N
tanφ = (a/b)tanβ
tanβ = (b/a)tanφ
 
天文緯度γ
tanβ = (b/a)tanφ
tanγ = (g/r)bsinβ) / {(g/r - ω²)acosβ}
= {(g/r)(b/a) / (g/r - ω²)}tanβ
= {g(b/a) / (g - ω²r)}tanβ
 
▼ 北緯φの地球の半径
a = R_EE = 6378.1×10³(m) 地球赤道半径
b = R_PE = 6356.8×10³(m) 地球極　半径
 
β = Tan^-1{(b/a)tanφ}
R = √{(acosβ)² + (bsinβ)²}
 
または
tanβ = (b/a)tanφ
R = √{(a² + b²tan²β)/(1 + tan²β)}
 
 
■ 結果
▼ φ,β,Φの関係
P'(acosβ, asinβ)
P(x,y) = (acosβ, bsinβ) = r(cosΦ, sinΦ)
P(x,y) = (acosβ, bsinβ) = r(cosΦ, sinΦ)
r = √(a²cos²β + b²sin²β)
= √{(a² + b²tan²β)/(1 + tan²β)}
 
tanφ = (a/b)tanβ = (a²/b²)tanΦ
(b²/a²)tanφ = (b/a)tanβ = tanΦ
 
▼ φ,β,γの関係
r = √{(a² + b²tan²β)/(1 + tan²β)}
tanβ = (b/a)tanφ
tanγ = {g(b/a) / (g - ω²r)}tanβ
 
▼ 重力加速度の近似方向と法線の比較
|ω| << 1、ω² ≒ 0と近似すると
tanγ ≒ (b/a)²tanβ
b/a ≒ 1と近似すると
tanγ ≒ tanφ
 
▼ 北緯φの地球の半径
a = R_EE = 6378.1×10³(m) 地球赤道半径
b = R_PE = 6356.8×10³(m) 地球極　半径
 
β = Tan^-1{(b/a)tanφ}
R = √{(acosβ)² + (bsinβ)²}
または
tanβ = (b/a)tanφ
R = √{(a² + b²tan²β)/(1 + tan²β)}
より
 
R:地球の半径[6367.5×10³(m)北緯45°]
g:重力加速度[g = GM/R² ≒ 9.83077(m/s²)]