コリオリ力 (3回目)

2023/9/26(火)
コリオリ力 (3回目)
 
(Coriolis force)
 
地球表面の運動
 
 
■ 前提
▼ 定義
静止座標系のz軸まわりに角速度ωで回転している
回転座標系を'付きで表す
 
F :物体に加える力
f :向心力(Centripetal force)
F_C :コリオリ力(Coriolis force)
f_C :遠心力(Centrifugal force)
 
ω = (ω_x, ω_y, ω_z) = (0, 0, ω) = ωe_z'
r' = x'e_x' + y'e_y' + z'e_z'
z'軸に垂直と平行な成分はそれぞれ
r'_⊥ = x'e_x' + y'e_y'
r'_// = z'e_z' = ω(ω･r')/ω² 
 
f = mω×(ω×r') = -mω²(x'e_x'+ y'e_y') = -f_C 
 
▼ 運動方程式
ma' = mr(･･)' = F + F_C + f_C 
= F - 2mω(x(･)'e_y'- y(･)'e_x') + mω²(x'e_x'+ y'e_y')
= F - 2mω×r(･)' - mω×(ω×r')
= F - 2mω×r(･)' + mω²{r'- ω(ω･r')/ω²}
= F - 2mω×v' + mω²r'_⊥ 
 
▼ 条件
T:地球の自転周期[86164.098903691(s)]
ω:地球の角速度[2π/T (rad/s)]
R_EE:地球赤道半径[6378.1×10³(m)]
R_PE:地球極　半径[6356.8×10³(m)]
G:重力定数[6.67430×10^-11(Nm²/kg²)]
M:地球質量[5.972×10²⁴(kg)]
R:地球の半径[6367.5×10³(m)北緯45°]
g:重力加速度[g = GM/R² ≒ 9.83077(m/s²)]
(北緯45°の標準重力加速度は正確にg_n = 9.80665 m/s²)
h:高さ(m)[|h|<<|R|つまり|R+h|≒|R|とする)
φ:北緯(rad)[日本の北緯35°, λ東経135°]
 
(x', y', z') = (r'sinθcosλ, r'sinθsinλ, r'cosθ)
= (r'cosφcosλ, r'cosφsinλ, r'sinφ)
特にλ = 0とすると
(x', y', z') = (r'cosφ, 0, r'sinφ)
 
(x, y, z) = (南, 東, 上)とする
地表を原点とすると
原点(x, y, z) = (0, 0, R)
原点(x', y', z') = (Rcosφ, 0, Rsinφ)
 
■ 導出
▼ 地球の半径
北緯45°(φ=π/4)の半径は
x = acosθ = R_EEsinφ = R_EE(1/√2)
y = bsinθ = R_PEcosφ = R_PE(1/√2)
R = √(x² + y²) = √{(R_EE² + R_PE²)/2}
≒ 6367.4588578410… ≒ 6367.5 (km)
 
▼ 地球の自転角速度
自転軸は北向きからの仰角φ方向なので
北向きにcosφ(南向きに-cosφ)
上向きにsinφの方向にあるので
 
自転角速度は
ω = (-ωcosφ, 0, ωsinφ)
 
▼ 重力
F = mg = (0, 0, -mg)
 
▼ 遠心力
f_C = mω²(x'e_x'+ y'e_y')
 
|x'e_x'+ y'e_y'| = √(x'²+y'²)
はz'軸からの垂直距離なので
原点(x', y', z') = (Rcosφ, 0, Rsinφ)
のz'軸からの垂直距離はRcosφとなる
 
また
遠心力の向きは上向きからφ南方向なので
南向きにsinφ
上向きにcosφの方向にあるので
(x'e_x'+ y'e_y') = (x, y, z)
= Rcosφ(sinφ, 0, cosφ)
 
f_C = mω²(x'e_x'+ y'e_y')
= (mω²Rcosφsinφ, 0, mω²Rcos²φ)
 
▼ コリオリ力
F_C = -2mω(x(･)'e_y'- y(･)'e_x') = -2mω×r(･)'
 
'付き座標系のとき
ω = (0, 0, ω)のときr(･) = (d/dt)(x', y', z')
 
これを
(x, y, z) = (南, 東, 上)座標系にすると
 
ω = (-ωcosφ, 0, ωsinφ)
r(･) = (d/dt)(x, y, z) = (x(･), y(･), z(･))
 
ω×r(･)'
= (0x(･)-ωsinφy(･), ωsinφx(･)+ωcosφz(･), -ωcosφy(･)-0x(･))
= (-ωsinφy(･), ωsinφx(･)+ωcosφz(･), -ωcosφy(･))
 
F_C = -2mω×r(･)'
= (2mωy(･)sinφ, -2mω(x(･)sinφ+z(･)cosφ), 2mωy(･)cosφ)
 
 
▼ 運動方程式
ma' = mr(･･)' = F + F_C + f_C 
ここで左辺の座標は全て(x,y,z)系になったので
ma = mr(･･) = F + F_C + f_C 
= (0, 0, -mg)
+ (mω²Rcosφsinφ, 0, mω²Rcos²φ)
+ (2mωy(･)sinφ, -2mωx(･)sinφ+ωz(･)cosφ, 2mωy(･)cosφ)
 
 
■ 結果
▼ 定義
F :物体に加える力
F_C :コリオリ力(Coriolis force)
f_C :遠心力(Centrifugal force)
T:地球の自転周期[86164.098903691(s)]
ω:地球の角速度[2π/T (rad/s)]
G:重力定数[6.67430×10^-11(Nm²/kg²)]
M:地球質量[5.972×10²⁴(kg)]
R:地球の半径[6367.5×10³(m)北緯45°]
g:重力加速度[g = GM/R² ≒ 9.83077(m/s²)]
(北緯45°の標準重力加速度は正確にg_n = 9.80665 m/s²)
h:高さ(m)[|h|<<|R|つまり|R+h|≒|R|とする)
φ:北緯(rad)[日本の北緯35°, λ東経135°]
 
(x, y, z) = (南, 東, 上)とする
原点(x, y, z) = (0, 0, R)
 
▼ 運動方程式
ma = mr(･･) = F + F_C + f_C 
= F - 2mω×r(･)' - mω×(ω×r')
= F - 2mω×r(･)' + mω²{r'- ω(ω･r')/ω²}
= F - 2mω×v' + mω²r'_⊥ 
 
= (0, 0, -mg)
+ (mω²Rcosφsinφ, 0, mω²Rcos²φ)
+ (2mωy(･)sinφ, -2mω(x(･)sinφ+z(･)cosφ), 2mωy(･)cosφ)