電磁気学 (1回目)

2023/9/1(金)
電磁気学 (1回目)
 
(Electro magnetics)
 
静電場静磁場の法則の導出
 
■ 前提
▼ 定義
ナブラ∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
ラプラシアン∇･∇ = ∇² = Δ
grad f = ∇f , div E = ∇･E , rot E = ∇×E 
 
ρ :電荷密度[総量Q:電荷(C)]
ε₀:真空中の誘電率(F/m)[ε:誘電率]
φ :静電ポテンシャル(V) = (J/C)
E  :電場(N/C)
D  :電束密度(C/m²)
r  :原点からの距離(m)(r = |r|)
B  :磁束密度(T) = (Wb/m²) = (Vs/m²) = (N/(A･m))
Φ :磁束(Wb)
H  :磁場(A/m) = (N/Wb)
j  :電流密度[総量I:電流(A)]
μ₀:真空中の透磁率(N/A²)[μ:透磁率]
 
(F) = (C/V) = (s²/J)
(C) = (A･s)
(A) = (C/s)
(V) = (W/A) = (JA/s) = (JC/s²)
(Wb) = (Nm/A) = (Nms/C) = (Js/C)
 
dS = n･dS … (n:面Sの法線ベクトル)
Sは体積Vの表面積とする
s = ∂SはSの周長とする
 
■ 導出
▼ 静電場の法則
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/07/poisson-1.html
ポアソン方程式 (1回目)
より
 
 
divE = ρ/ε₀ … (ガウスの法則)
rotE = 0      … (渦なしの法則)
 
▼ 電束密度
∫D･dS = Q
より
divD = ρ
 
ε₀E = D - P  … (P:誘電分極)
D ≒ εE  (if P ≒ λE)  … (ε≒ε₀+λ:誘電率)
Pは物質内部で電場が弱くなる補正
 
▼ アンペールの法則
I:電流(A)
r:電流からの距離(m)
H = I/(2πr)
 
2πrH = I
∫_S j･dS = I
∫_∂S H･ds = 2πrH
(H･dsの一周は円になるため)
よって
∫_∂S H･ds = ∫_S j･dS
 
ストークスの定理
∫_∂S H･ds = ∫_S rotH･dS
Hに垂直な成分の一周sの長さ(Sの境界線の長さ)は
Hに垂直な周りのdSの周囲の長さを
すべて足したものに等しい
(Sの内部のとなり合うdSの周囲は接触部分で
方向が逆なので打ち消し合いSの周囲のみ残る)
より
 
∫_∂S H･ds = ∫_S rotH･dS = ∫_S j･dS 
rotH = j 
 
B = μ₀H + χ_mM  … (M:磁化)
B ≒ μH (if χ_mM ≒ χ_mH) … (μ≒μ₀+χ_m:透磁率)
 
H  … (コイルに)流した電流によって生じる磁場
M  … 物質内部(鉄芯など)に生じる磁場
 
rotH = j 
rotB = μ₀j 
 
磁束は発散が0(湧出しはない)
divB = 0
 
▼ 力
H = I/(2πr)
B = μ₀H = Iμ₀/(2πr)
 
|F| = {μ₀/(2π)}I₁I₂/r
= I|B|  … (I_nはIと置き直した)
フレミングの左手の法則より
dF = Ids×B  … (アンペールの力)
 
1m当たりn個の電荷qが速度vで移動している時
I = nqv
単位長さ当たりの個数nと微小長さdsの積は
個数なのでN個と置き
方向はvで表すと
dF = Ids×B = nqvds×B = qNv×B 
dsの中にあるN個の電荷が受ける力がdFなので
1個の電荷が受ける力は
F = qv×B  … (ローレンツ力)
 
 
■ 結果
▼ 定義
ナブラ∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
ラプラシアン∇･∇ = ∇² = Δ
grad f = ∇f , div E = ∇･E , rot E = ∇×E 
 
E  :電場(N/C)
D  :電束密度(C/m²)
B  :磁束密度(T) = (Wb/m²) = (Vs/m²) = (N/(A･m))
H  :磁場(A/m) = (N/Wb)
ρ :電荷密度[総量Q:電荷(C)]
ε₀:真空中の誘電率(F/m)[ε:誘電率]
μ₀:真空中の透磁率(N/A²)[μ:透磁率]
j  :電流密度[総量I:電流(A)]
φ :静電ポテンシャル(V)
Φ :磁束(Wb)
 
▼ 静電場
divE = ρ/ε₀ … (ガウスの法則)
rotE = 0      … (渦なしの法則)
 
▼ 電束密度
divD = ρ
ε₀E = D - P  … (P:誘電分極)
D ≒ εE  (if P ≒ λE)  … (ε≒ε₀+λ:誘電率)
P:物質内部で電場が弱くなる補正
 
▼ 磁束密度
rotB = μ₀j  … (アンペールの法則)
divB = 0     … (湧出しなし)
 
▼ 磁場
H = I/(2πr)  … (アンペールの法則)
rotH = j      … (アンペールの法則)
 
B = μ₀H + χ_mM  … (M:磁化)
B ≒ μH (if χ_mM ≒ χ_mH) … (μ≒μ₀+χ_m:透磁率)
H:(コイルに)流した電流によって生じる磁場
M:物質内部(鉄芯など)に生じる磁場
 
▼ 力
F = qv×B  … (ローレンツ力)