電磁気学 (4回目)

2023/9/6(水)
電磁気学 (4回目)
 
(Electro magnetics)
 
(特殊)相対論的マクスウェルの方程式の導出
(Maxwell's equation)
 
■ 前提
▼ 定義
ナブラ∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
grad f = ∇f , div E = ∇･E , rot E = ∇×E 
ラプラシアン∇･∇ = ∇² = Δ
ダランべルシアン
□ = ∂^μ∂_μ = -(1/c²)(∂²/∂t²) + Δ
 
E  :電場(N/C)
B  :磁束密度(T) = (Wb/m²) = (Vs/m²) = (N/(A･m))
ρ :電荷密度[総量Q:電荷(C)]
ε₀:真空中の誘電率(F/m)[ε:誘電率]
μ₀:真空中の透磁率(N/A²)[μ:透磁率]
j  :電流密度[総量I:電流(A)]
φ :スカラーポテンシャル
A  :ベクトルポテンシャル
c  :真空中の光速度(m/s)[c = 1/√(ε₀μ₀)導出略]
 
▼ ポテンシャルの方程式
E = -gradφ - ∂A/∂t
B = rotA 
 
{Δ - ε₀μ₀(∂²/∂t²)}A 
- grad{divA + ε₀μ₀(∂φ/∂t)} = -μ₀j  … ①
Δφ + div(∂A/∂t) = -ρ/ε₀  … ②
 
 
■ 導出
▼ 式の変形
c = 1/√(ε₀μ₀)  … 光速度
より
ε₀μ₀ = 1/c² 
を使って
{Δ - ε₀μ₀(∂²/∂t²)}A 
- grad{divA + ε₀μ₀(∂φ/∂t)} = -μ₀j  … ①
は
{Δ - (1/c²)(∂²/∂t²)}A 
- grad{divA + (1/c²)(∂φ/∂t)} = -μ₀j  … ①'
 
Δφ + div(∂A/∂t) = -ρ/ε₀  … ②
は
(1/c²)(∂²/∂t²)φを引いて足すと
{Δ - (1/c²)(∂²/∂t²)}φ
+ div(∂A/∂t) + (1/c²)(∂²φ/∂t²) = -ρ/ε₀  
{Δ - (1/c²)(∂²/∂t²)}φ
+ (∂/∂t){divA + (1/c²)(∂φ/∂t)} = -ρ/ε₀  
{Δ - (1/c²)(∂²/∂t²)}(φ/c)
+ (1/c)(∂/∂t){divA + (1/c)(∂(φ/c)/∂t)}
= -ρ/(ε₀c)  … ②'
に変形
 
{Δ - (1/c²)(∂²/∂t²)}A 
- grad{divA + (1/c²)(∂φ/∂t)} = -μ₀j  … ①'
{Δ - (1/c²)(∂²/∂t²)}(φ/c)
+ (1/c)(∂/∂t){divA + (1/c)(∂(φ/c)/∂t)}
= -ρ/(ε₀c)  … ②'
 
▼ 電磁ポテンシャルと電流密度の定義
四元ポテンシャルA^μの定義(ゲージ場)
A^μ = (A⁰, A¹, A², A³) = (φ/c, A)
四元電流密度j^μの定義
j^μ = (j⁰, j¹, j², j³) = (cρ, j)
 
②'式
{Δ - (1/c²)(∂²/∂t²)}(φ/c)
+ (∂/c∂t){divA + (∂(φ/c)/c∂t)}
= -ρ/(ε₀c)  … ②'
は
{Δ - (1/c²)(∂²/∂t²)}A⁰ 
+ (1/c)(∂/∂t){divA + (1/c)(∂/∂t)A⁰}
= -cρ/(ε₀c²) = -j⁰/{ε₀/(ε₀μ₀)} = -μ₀j⁰ 
 
①'式
{Δ - (1/c²)(∂²/∂t²)}A 
- grad{divA + (1/c²)(∂φ/∂t)} = -μ₀j  … ①'
は
k = 1,2,3として
{Δ - (1/c²)(∂²/∂t²)}A^k 
- (∂/∂x^k){divA + (1/c)(∂/∂t)A⁰} = -μ₀j^k 
 
▼ 微分の定義
ラプラシアン
Δ = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z² 
 
ミンコフスキー計量η^μν = diag(-1,1,1,1)
 
ナブラ∇
∂_μ = {(1/c)(∂/∂t), ∇}
= {(1/c)(∂/∂t), ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z}
∂^μ = η^μν∂_μ = {-(1/c)(∂/∂t), ∇}
= {-(1/c)(∂/∂t), ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z}
 
ダランべルシアン(d'Alembertian)□
□ = ∂^μ∂_μ 
= -(1/c²)∂²/∂t² + ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z² 
= -(1/c²)(∂²/∂t²) + Δ
 
クアブラ(quabla)□
□² = ∂^μ∂_μ と書く事もある
 
▼ 式をまとめる
{Δ - (1/c²)(∂²/∂t²)}A⁰ 
+ (1/c)(∂/∂t){divA + (1/c)(∂/∂t)A⁰} = -μ₀j⁰ 
と
k = 1,2,3として
{Δ - (1/c²)(∂²/∂t²)}A^k 
- (∂/∂x^k){divA + (1/c)(∂/∂t)A⁰} = -μ₀j^k 
に
divA + (1/c)(∂/∂t)A⁰ 
= (1/c)(∂/∂t)A⁰ + (∂/∂x^k)A^k 
= ∂_νA^ν 
Δ - (1/c²)(∂²/∂t²) = □
を代入して
□A⁰ + (1/c)(∂/∂t)(∂_νA^ν) = -μ₀j⁰ 
□A^k - (∂/∂x^k)(∂_νA^ν) = -μ₀j^k 
これをまとめて
□A^μ - ∂^μ(∂_νA^ν) = -μ₀j^μ 
 
 
▼ ローレンツ条件(次回解説)
divA + ε₀μ₀(∂φ/∂t) = 0  … ローレンツ条件
は
∂_νA^ν = 0  … ローレンツ条件
と書ける
 
 
▼ 電磁場テンソル
□ = ∂^μ∂_μ 
□A^μ - ∂^μ(∂_νA^ν) = -μ₀j^μ 
より
∂^ν∂_νA^μ - ∂^μ(∂_νA^ν) = -μ₀j^μ 
∂_ν(∂^νA^μ - ∂^μA^ν) = -μ₀j^μ 
∂_ν(∂^μA^ν - ∂^νA^μ) = μ₀j^μ 
 
ここで、電磁場テンソルを
F^μν = ∂^μA^ν - ∂^νA^μ 
と定義する
 
∂_νF^μν = μ₀j^μ 
 
因みに
F^μν = ∂^μA^ν - ∂^νA^μ = -(∂^νA^μ - ∂^μA^ν) = -F^νμ 
F^μμ = ∂^μA^μ - ∂^μA^μ = 0
 
以下(k=1,2,3)とする
B = rotA = ∇×A 
= (Bx, By, Bz) = (B¹, B², B³) = B^k = ∂^k×B^k 
= (∂²A³ - ∂³A², ∂³A¹ - ∂¹A³, ∂¹A² - ∂²A¹)
E = -gradφ - ∂A/∂t = -∇φ - ∂A/∂t
= -∂A/∂t - ∇φ
E^k = -∂A^k/∂t - ∂φ/∂x^k = (Ex, Ey, Ez)
を使って
 
F^0k = ∂⁰A^k-∂^kA⁰ = -(1/c)∂A^k/∂t - ∂φ/∂x^k = E^k/c
F¹² = ∂¹A²-∂²A¹ =  B³ 
F¹³ = ∂¹A³-∂³A¹ = -B² 
F²³ = ∂²A³-∂³A² =  B¹ 
よって
 
F^μν =
|0      Ex/c  Ey/c  Ez/c|
|-Ex/c   0     Bz   -By |
|-Ey/c  -Bz    0     Bx |
|-Ez/c   By   -Bx    0  |
 
 
■ 結果
▼ 定義
E  :電場(N/C)
B  :磁束密度(T) = (Wb/m²) = (Vs/m²) = (N/(A･m))
ρ :電荷密度[総量Q:電荷(C)]
ε₀:真空中の誘電率(F/m)[ε:誘電率]
μ₀:真空中の透磁率(N/A²)[μ:透磁率]
j  :電流密度[総量I:電流(A)]
φ :スカラーポテンシャル(V)
A  :ベクトルポテンシャル
c  :真空中の光速度(m/s)[c = 1/√(ε₀μ₀)導出略]
 
▼ ポテンシャル
E = -gradφ - ∂A/∂t
B = rotA 
 
▼ 四元ベクトル
電磁ポテンシャルA^μの定義
A^μ = (A⁰, A¹, A², A³) = (φ/c, A)
四元電流密度j^μの定義
j^μ = (j⁰, j¹, j², j³) = (cρ, j)
 
ナブラ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)
ミンコフスキー計量η^μν = diag(-1,1,1,1)
∂_μ = {(1/c)(∂/∂t), ∇}
∂^μ = η^μν∂_μ = {-(1/c)(∂/∂t), ∇}
ラプラシアンΔ = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z² 
ダランべルシアン
□ = ∂^μ∂_μ = -(1/c²)(∂²/∂t²) + Δ
 
クアブラ(quabla)□
□² = ∂^μ∂_μ と書く事もある
 
▼ 相対論的マクスウェルの方程式
□A^μ - ∂^μ(∂_νA^ν) = -μ₀j^μ 
または
∂_νF^μν = μ₀j^μ 
 
▼ ローレンツ条件(次回解説)
∂_νA^ν = 0
 
▼ 電磁場テンソルF^μν 
F^μν = ∂^μA^ν - ∂^νA^μ 
 
(Bx, By, Bz) = B = rotA 
(Ex, Ey, Ez) = E = -gradφ - ∂A/∂t
 
F^μν =
|0      Ex/c  Ey/c  Ez/c|
|-Ex/c   0     Bz   -By |
|-Ey/c  -Bz    0     Bx |
|-Ez/c   By   -Bx    0  |