剛体力学 (1回目)

2024/1/18(木)
剛体力学 (1回目)
 
剛体力学
(Rigid body mechanics)
 
慣性モーメント
 
■ 定義
▼ 質点の慣性モーメント(余談)
N :回転力(N･m)(力のモーメント)
F :力(N)
a :加速度(m/s²)
v :速度(m/s)
x :位置(m)
α:角加速度(rad/s²)
ω:角速度(rad/s)
θ:角度(rad)
r :動径(m)(回転半径)
m :質点の質量(kg)
I :質点の慣性モーメント(kg･m²)
 
回転半径rの質量mの質点に対して
 
x = rθ
v = x(・) = rθ(・) = rω
a = x(･･) = rθ(･･) = rα
より
 
a = rα, v = rω, x = rθ
F = ma = mrα
N = Fr = mr²α = Iα  … (I = mr² と置く)
 
よって
F = ma
N = Iα  … (I = mr²)
 
回転に関する質量に相当する
Iを慣性モーメントと言う
 
▼ 座標
(x, y, z):直交座標(m, m, m)
(r,θ,φ):極座標(m, rad, rad)
(r,θ, z):円柱座標(m, rad, m)
 
▼ 慣性モーメント
dV :微小体積(m³)
ρ :密度(kg/ m³)
r_z :z軸からの垂直距離(m)
R  :半径(m)
H  :高さ(m)
V  :体積(m³)
M  :質量(kg)
I  :慣性モーメント(kg･m²)
 
V = ∫dV
M = ρV
I = ∫ρr_z²dV  … (余談のI = mr² より)
 
 
■ 微小体積とz軸からの距離など

 
図1 球(左)と円柱(右)
 
▼ 球
(x, y, z) = (rsinθcosφ, rsinθsinφ, rcosθ)
dV = r²sinθdrdθdφ
r_z = rsinθ
V = ∫dV = ∫₀^2π∫₀^π∫₀^Rr²sinθdrdθdφ
I = ∫ρr_z²dV
= ∫₀^2π∫₀^π∫₀^Rρ(r²sin²θ)r²sinθdrdθdφ
 
▼ 円柱
(x, y, z) = (rcosθ, rsinθ, z)
dV = rdrdθdφ
r_z = r
V = ∫dV = ∫₀^H∫₀^2π∫₀^Rrdrdθdz
I = ∫ρr_z²dV
= ∫₀^H∫₀^2π∫₀^Rρ(r²)rdrdθdφ
 
 
■ 導出
▼ 球の体積
V = ∫dV = ∫₀^2π∫₀^π∫₀^Rr²sinθdrdθdφ
= ∫₀^2πdφ∫₀^πsinθdθ∫₀^Rr²dr
= [φ]₀^2π[-cosθ]₀^π[r³/3]₀^R 
= 2π{1 - (-1)}R³/3
= (4/3)πR³ 
 
▼ 球の慣性モーメント
t = cosθ, dt/dθ = -sinθ, dθ = -dt/sinθ
 
∫sin³θdθ = ∫(1-cos²θ)sinθdθ
= ∫-(1-t²)sinθdt/sinθ
= ∫(t²-1)dt = t³/3 – t + C
= (1/3)cos³θ – cosθ + C
 
∫₀^πsin³θdθ = [(1/3)cos³θ – cosθ]₀^π 
= {-1/3 - (-1)} - (1/3 - 1) = -2/3 + 2
= 4/3
 
I = ∫ρr_z²dV
= ∫₀^2π∫₀^π∫₀^Rρ(r²sin²θ)r²sinθdrdθdφ
= ρ∫₀^2πdφ∫₀^πsin³θ∫₀^Rr⁴drdθ
= ρ[φ]₀^2π(4/3)[r⁵/5]₀^R 
= ρ(2π)(4/3)(R⁵/5)
= ρ(4/3)πR³(2/5)R² 
= ρV(2/5)R² 
= (2/5)MR² 
 
 
▼ 円柱の体積
V = ∫dV = ∫₀^H∫₀^2π∫₀^Rrdrdθdz
= ∫₀^Hdz∫₀^2πdθ∫₀^Rrdr
= [z]₀^H[θ]₀^2π[r²/2]₀^R 
= H(2π)(R²/2)
= πR²H
 
▼ 円柱の慣性モーメント
I = ∫ρr_z²dV
= ∫₀^H∫₀^2π∫₀^Rρ(r²)rdrdθdφ
= ρ∫₀^Hdz∫₀^2πdθ∫₀^Rr³dr
= ρ[z]₀^H[θ]₀^2π[r⁴/4]₀^R 
= ρH(2π)(R⁴/4)
= ρπR²H(1/2)R² 
= ρV(1/2)R² 
= (1/2)MR² 
 
 
■ 結果
▼ 定義
R  :半径(m)
H  :高さ(m)
V  :体積(m³)
M  :質量(kg)
I  :慣性モーメント(kg･m²)
 
▼ 球
V = (4/3)πR³ 
I = (2/5)MR² 
 
▼ 円柱
V = πR²H
I = (1/2)MR²