剛体力学 (3回目)

2024/2/3(土)
剛体力学 (3回目)

剛体力学
(Rigid body mechanics)
 
慣性テンソル
 
■ 前提
▼ 定義
N :回転力(N･m)(力のモーメント)
F :力(N)
a :加速度(m/s²)
v :速度(m/s)
x :位置(m)
α:角加速度(rad/s²)
ω:角速度(rad/s)
θ:角度(rad)
r :動径(m)(回転半径)
m :質点の質量(kg)
M :全体の質量(kg)
I :質点の慣性モーメント(kg･m²)
I :質点の慣性テンソル(kg･m²)
L :角運動量(kg･m²/s)
r :動径(m)
p :運動量(kg･m/s)
 
太字はベクトル
 
■ 導出
▼ 外積の公式
ここだけ大文字をベクトル
小文字の添え字を成分とする
 
{A × (B × C)}x
= Ay(B × C)z – Az(B × C)y
= Ay(BxCy - ByCx) - Az(BzCx - BxCz)
= AyBxCy - AyByCx - AzBzCx + AzBxCz
= (AyCy + AzCz)Bx - (AyBy + AzBz)Cx
= (AxCx + AyCy + AzCz)Bx - (AxBx + AyBy + AzBz)Cx
= (A･C)Bx - (A･B)Cx
 
{A × (B × C)}x = (A･C)Bx - (A･B)Cx
x → y, y → z, z → xに変換して
{A × (B × C)}y = (A･C)By – (A･B)Cy
 
x → z, y → x, z → yに変換して
{A × (B × C)}z = (A･C)Bz – (A･B)Cz
 
よって
A × (B × C) = (A･C)B - (A･B)C
 
▼ 内積の公式
ここだけ大文字をベクトル、小文字を添え字とする
{(A･B)A}x = (AxBx + AyBy + AzBz)Ax
= (Ax², AxAy, AzAx)･B
{(A･B)A}y = (AxBx + AyBy + AzBz)Ay
= (AxAy, Ay², AyAz)･B
{(A･B)A}z = (AxBx + AyBy + AzBz)Az
= (AzAx, AyAz, Az²)･B
 
よって
(A･B)A =
|Ax²  AxAy  AzAx||Bx|
|AxAy  Ay²  AyAz||By|
|AzAx  AyAz  Az²||Bz|
 
▼ 質点の慣性テンソル
A =
|x²  xy  zx |
|xy  y²  yz |
|zx  yz  z² |
E =
|1 0 0|
|0 1 0|
|0 0 1|
r = (x, y, z)
r² = r･r = x² + y² + z² 
v = ω × r (v = rωと方向より)
p = mv 
L = r × p = r × mv = mr × v 
= mr × (ω × r)
= m(r･r)ω - m(r･ω)r 
= m{r²E - A}ω 
 
I = m{r²E - A} =
|m(y²+z²)  mxy       mzx     |
|mxy       m(z²+x²)  myz     |
|mzx       myz       m(x²+y²)|
 
n^t = (nx, ny, nz)  … 回転軸
L = n^tInω
 
 
▼ 回転軸の平行移動
軸がhズレたときの慣性モーメントI
 
軸がhズレると全質量がズレる事となるので
I' = Mh² だけの慣性モーメントが増える事になる
I'' = I_c + I'  … (I = mr²)
 
軸がhズレたときの慣性テンソルI 
I_c = mr² のr² の部分がI' = Mh² のh² に当たるので
I_c =
|m(y²+z²)  mxy       mzx     |
|mxy       m(z²+x²)  myz     |
|mzx       myz       m(x²+y²)|
I' = MH 
H =
|(h_y²+h_z²)  h_xh_y       h_zh_x     |
|h_xh_y       (h_z²+h_x²)  h_yh_z     |
|h_zh_x       h_yh_z       (h_x²+h_y²)|
I = I_c + I' = I_c + MH 
 
 
■ 結果
▼ 定義
N :回転力(N･m)(力のモーメント)
F :力(N)
a :加速度(m/s²)
v :速度(m/s)
x :位置(m)
α:角加速度(rad/s²)
ω:角速度(rad/s)
θ:角度(rad)
r :動径(m)(回転半径)
m :質点の質量(kg)
M :全体の質量(kg)
I :質点の慣性モーメント(kg･m²)
I :質点の慣性テンソル(kg･m²)
L :角運動量(kg･m²/s)
r :動径(m)
p :運動量(kg･m/s)
 
太字はベクトル
 
▼ 質点の慣性テンソル
I = m{r²E - A} =
|m(y²+z²)  mxy       mzx     |
|mxy       m(z²+x²)  myz     |
|mzx       myz       m(x²+y²)|
 
n^t = (n_x, n_y, n_z)  … 回転軸
L = n^tInω
 
▼ 回転軸の平行移動
h = (h_x, h_y, h_z)  … 平行移動量
I_c =
|m(y²+z²)  mxy       mzx     |
|mxy       m(z²+x²)  myz     |
|mzx       myz       m(x²+y²)|
I' = MH 
H =
|(h_y²+h_z²)  h_xh_y       h_zh_x     |
|h_xh_y       (h_z²+h_x²)  h_yh_z     |
|h_zh_x       h_yh_z       (h_x²+h_y²)|
I = I_c + I' = I_c + MH 
ΣI = n^tΣI_cn + I'